Definicja różniczkowalności w Rⁿ

Niech
będzie zbiorem otwartym. Mówimy że funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie odwzorowanie liniowe
, że:


Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie
.

Definicja pochodnej kierunkowej

Ustalamy zbiór otwarty
.

Mówimy, że funkcja
ma pochodną kierunkową w punkcie
w kierunku wektora
, gdy istnieje granica:


Jeśli funkcja ma pochodną kierunkową w punkcie
w kierunku wektora
, to oznaczamy ją:
, czyli:

Związek między różniczkowalnością a pochodną kierunkową

Jeśli
jest różniczkowalna w punkcie
, to posiada pochodne kierunkowe w kierunku dowolnego wektora
oraz

Pochodne cząstkowe

Ustalamy zbiór otwarty
.
Mówimy, że funkcja
ma w punkcie
pochodną cząstkową względem j-tej zmiennej
gdy istnieje pochodna kierunkowa w tym punkcie w kierunku wektora
.Oznaczamy

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech
;
jest funkcją ciągłą spełniającą warunki:
I.

II. F jest klasy C¹ w pewnym otoczeniu (x₀,y₀)
III.

wówczas dla pewnego ε > 0 istnieje funkcja
taka że
oraz

Jakobian i macierz Jacobiego

Ustalmy zbiór otwarty
oraz
.
Niech
i niech
takie, że:

Jeżeli funkcje
mają wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie
to macierzą Jacobiego tej funkcji nazywamy macierz:


Jeżeli M = N to wyznacznik macierzy Jacobiego nazywamy jakobianem funkcji f w punkcie x₀.

1. Twierdzenie Greena

Niech
będzie obszarem normalnym w kierunku obu osi układu współrzędnych, którego brzegiem jest krzywa L zorientowana dodatnio. Jeśli funkcje P, Q są klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym krzywą L to:

---