Zbiory liczbowe

Przez zbiór elementów mających pewną własność W rozumiemy zbiór wszystkich i tylko takich elementów, które mają tę własność. Zbiór elementów x mających własność W oznaczamy symbolem {x: W(x)}.

Zbiór liczb naturalnych to zbiór {1,2,3,4,5,...}. Oznaczamy go przez N. Zbiór N jest nieskończony. Posiada on liczbę najmniejszą, jest to liczba 1.

Zbiór liczb całkowitych to zbiór złożony z liczb naturalnych, liczby 0 i liczb przeciwnych do liczb naturalnych, czyli zbiór {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Oznaczamy go przez C. W zbiorze C nie ma ani liczby najmniejszej ani liczby największej.

Liczbę postaci
, gdzie a oznacza liczbę całkowitą, zaś b liczbę naturalną (oczywiście b≠0) nazywamy liczbą wymierną (ułamkiem). Liczbę a nazywamy licznikiem ułamka, zaś liczbę b mianownikiem tego ułamka. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy przez W.

Przykład 1.9. Ułamkami są wyrażenia:

,
, -
,
,
.

Jedna liczba wymierna może być zapisana w różnej postaci, np.
,
.

Zbiór liczb niewymiernych to zbiór tych liczb, które nie dadzą się zapisać w postaci ułamka
. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy przez IW.

Przykład 1.10. Przykłady liczb niewymiernych:
,
, π.

Rozwinięcie dziesiętne liczby
:
=1,1414213562.

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą (w sensie mnogościowym - patrz rozdział 1.4) zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Zatem R=W∪IW.

Niech a,b∈R oraz a<b.

Przedział obustronnie otwarty (a,b) określamy następująco:

x∈(a,b) ⇔ a<x<b.

Przedział obustronnie domknięty <a,b〉 określamy następująco:

x∈<a,b〉 ⇔ a≤x≤b.

Przedział lewostronnie domknięty <a,b) określamy następująco: (1.2)

x∈<a,b) ⇔ a≤x<b.

Przedział prawostronnie domknięty (a,b〉 określamy następująco:

x∈(a,b〉 ⇔ a<x≤b.

Są to przedziały ograniczone. Poza nimi występują też przedziały jednostronnie nieograniczone (-∞,b), (-∞,b〉, <a,+∞), (a,+∞) oraz przedział obustronnie nieograniczony (-∞,+∞), czyli cały zbiór R.

DEFINICJA. Zbiory A i B nazywamy równymi i piszemy A=B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.

A=B ⇔
(x∈A ⇔ x∈B) (1.3)

Przykład 1.11. Poniżej przedstawione są przykłady równości zbiorów:

{x: x∈N, x<3}={1,2}, {x∈R:
}= (-∞,-7〉 ∪ <3,+∞).

Jeżeli zbiory A i B nie są równe, to piszemy A≠B.

DEFINICJA. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i piszemy A⊂B (lub A⊆B) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Jeżeli A⊂B, to A nazywamy podzbiorem zbioru B. Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru A (∅⊂A).

A⊂B ⇔
(x∈A ⇒ x∈B) (1.4)

Rys.1.1. Zawieranie się zbiorów A i B

Przykład 1.12. N⊂C, {0}⊂{-1,0,1}, {x: x<8}⊂{x: x≤8}

Własności relacji równości i zawierania (inkluzji) zbiorów (dla dowolnych zbiorów A, B, C):

• A=A, A=B⇒B=A, (A=B)∧(B=C)⇒A=C,

• A⊂A, (A⊂B)∧(B⊂C)⇒A⊂C, (A⊂B)∧(B⊂A)⇒A=B. (1.5)

Prawdziwe są więc zależności:

N⊂C⊂W⊂R, IW⊂R, W∪IW=R.

1. Działania na zbiorach

DEFINICJA. Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B nazywamy iloczynem zbiorów A i B i oznaczamy przez A∩B.

A∩B={x: x∈A ∧ x∈B}. (1.6)

Rys.1.2. Iloczyn zbiorów A i B

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi wtedy i tylko wtedy, gdy A∩B=∅.

Przykład 1.13. {0,1,2,3,4,}∩{3,4,5}={3,4}, {1,3,5}∩{2,4}=∅.

DEFINICJA. Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B nazywamy sumą zbiorów A i B i oznaczamy przez A∪B.

A∪B={x: x∈A ∨ x∈B}. (1.7)

Rys.1.3. Suma zbiorów A i B

Przykład 1.14. {0,1,2}∪{1,3}=(0,1,2,3}, (0,3)∪<1,4)=(0,4).

DEFINICJA. Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do zbioru A i nie należy do zbioru B nazywamy różnicą zbiorów A i B oznaczamy przez A\B.

A/B={x: x∈A ∧ x∉B}. (1.8)

Rys.1.4. Różnica zbiorów A i B

Przykład 1.15. R\W=IW, {1,2,3,4,5,6}\{1,3,5}={2,4,6}, {1,2}\{2,3}={1}.

DEFINICJA. Niech A oznacza podzbiór przestrzeni U (uniwersum). Zbiór U\A nazywamy dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni U) i oznaczamy przez A'.

A'={x: x∈U ∧ x∉A}. (1.9)

Rys.1.5. Dopełnienie zbioru A

Przykład 1.15. Jeśli U=N, A={1,3,5,7,...}, to A'={2,4,6,8,...}.

Dopełnienie Jeśli zbioru licz naturalnych N do zbioru liczb całkowitych C jest zbiór {...,-3,-2,-1,0}.

∅'=U, U'=∅.

Prawa rachunku zbiorów.

Niech A, B, C, D oznaczają dowolne podzbiory przestrzeni U. Zachodzą następujące prawa rachunku zbiorów:

• A∩B=B∩A - prawo przemienności mnożenia,

• A∪B=B∪A - prawo przemienności dodawania,

• (A∩B)∩C=A∩(B∩C) - prawo łączności mnożenia,

• (A∪B)∪C=A∪(B∪C) - prawo łączności dodawania,

• A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) - prawo rozdzielności mnożenia względem

dodawania,

• A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) - prawo rozdzielności dodawania względem

mnożenia,

• A∪∅=A, (1.10)

• A∩U=A,

• A∩A'=∅,

• A∪A'=U,

• (A∩B)'=A'∪B' - prawo de Morgana,

• (A∪B)'=A'∩B' - prawo de Morgana.

Przykład 1.16. Niech A={1,2,3,4,5,6}, B={1,3,7}, C={1,5,7,8}. Wtedy A∩(B∪C)={1,3,5} oraz (A∩B)∪(A∩C)={1,3,5}. Zachodzi zatem prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

Symbolem (a,b) oznaczamy parę uporządkowaną, której a jest pierwszym elementem, zaś b drugim elementem. Pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe pierwsze i drugie elementy.

(a,b)=(c,d) ⇔ a=c ∧ b=d. (1.11)

DEFINICJA. Zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b), takich, że a∈A i b∈B nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy przez A×B.

A×B={(a,b): a∈A ∧ b∈B}. (1.12)

Prawa dotyczące iloczynu kartezjańskiego zbiorów.

Niech A, B, C oznaczają podzbiory przestrzeni U. Zachodzą następujące prawa rachunku zbiorów:

• A×B ≠ B×A, o ile zbiory A i B nie są równe

• A×(B×C) = (A×B)×C

• (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)

• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)

• (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)

• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)

Przykład 1.17. Jeśli A={1,2}, B={3,4}, to A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}.

---