Sprawozdanie

laboratoria Metod Numerycznych 07.03.2011

I Metoda Jacobiego

1.Opis metody:

Metoda Jacobiego jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiawiadomymi Ax = b. Wektor x⁰ będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). Metoda ta jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego rozwiązania x⁰, jeśli największa wartość bezwzględna z wartości własnej macierzy jest mniejszy od jeden W przeciwnym wypadku nie dla każdego przybliżenia początkowego otrzymamy rozwiązanie układu.

2. Implementacja metody :

function x=jacobi(A,b,x0,delta,maxit);

%A macierz współczynników
%b prawa strona układu równań
%x0 punkt startowy 
%delta dokładnośc rozwiązania
%maksymalna liczba iteracji

[m,n]=size(A);
P=x0;
x=P;
e=norm(x-P);

for i=1:maxit
        for j=1 : n
            s=0;
            for c=1:j-1
            s=s+A(j,c)*P(c);
        end;
        for c=j+1:n
            s=s+A(j,c)*P(c);
        end;
        x(j)=(b(j)-s)/A(j,j);
end;
e=norm(x-P);
P=x;
if(e<delta) break; end;
end;

3. Sprawdzenie sposobu działania medody Jacobiego:

A=[2 1 0; 1 3 1;0 1 2]
b=[10;-10;10]
x0=[0;0;0]
delta=0.001

maxit=100000

Wynik :

x=jacobi(A,b,x0,delta,maxit):

x =

    9.9995
   -9.9995
    9.9995

4. Wykres zbieżności Jabobiega oraz zmiany wartosci „e”

a) Implementacja metody

function x=jacobi(A,b,x0,delta,maxit);

%A macierz współczynników
%b prawa strona układu równań
%x0 punkt startowy 
%delta dokładnośc rozwiązania
%maksymalna liczba iteracji

[m,n]=size(A);
P=x0;
x=P;
e=norm(x-P);

for i=1:maxit
       for j=1 : n
           s=0;
           for c=1:j-1
           s=s+A(j,c)*P(c);
       end;
       for c=j+1:n
           s=s+A(j,c)*P(c);
       end;
       x(j)=(b(j)-s)/A(j,j);
end;
e=norm(x-P);
e_w(i)=e;
P=x;
iter(i)=i;
zmx1(i)=x(1);
if(e<delta) break; end;
end;

plot(iter, zmx1,'r');
hold on
plot(iter, e_w,'g');
grid
ylabel('Wartość funkcji'),xlabel('Kroki iteracjji');
hold off
title(Zbieżność metody Jacobiego oraz zmiany wartości "e"')

b) sprawdzenie dla danych:

A=[2 1 0; 1 3 1;0 1 2]
b=[10;-10;10]
x0=[0;0;0]
delta=0.001

maxit=100000

c) wykres:

II Metody Gaussa-Seidla

1.Opis metody:

Metdoa Gaussa-Seidla- jest ona pewną modyfikacją metody Jacobiego, jest metodą relaksacyjną w której poszukiwanie rozwiązania rozpoczyna się od dowolnie wybranego rozwiązania startowego(x0), po czym w kolejnych krokach, zwanych iteracjami, za pomocą prostego algorytmu zmienia się kolejno jego składowe, tak by coraz lepiej odpowiadały rzeczywistemu rozwiązaniu. Stosowana jest głównie do rozwiązywania ogromnych układów równań postaci Ax=b.

2. Implementacja metody :

function x=gseid(A,b,x0,delta,maxit);

%A macierz współczynników
%b prawa strona układu równań
%x0 punkt startowy 
%delta dokładnośc rozwiązania
%maksymalna liczba iteracji

[m,n]=size(A);
P=x0;
x=P;
e=norm(x-P);

for i=1:maxit
    for j=1:n
        
        if(j==1)
            s=0;
            for c=2:n
            s=s+A(1,c)*P(c);
            end;
            
            x(1)=(b(1)-s)/A(1,1);
        elseif(j==n)
            s=0;
            for c=1:n-1
                s=s+A(n,c)*x(c);
            end;
            x(n)=(b(n)-s)/A(n,n);
        else
            s=0;
            for c=1:j-1
                s=s+A(j,c)*x(c);
            end;
            for c=j+1:n
                s=s+A(j,c)*P(c);
            end;
            x(j)=(b(j)-s)/A(j,j);
        end;
    end;
e=norm(x-P);
P=x;
if(e<delta) break;
end;
end;

3. Sprawdzenie sposobu działania medody Gausa-Seidla dla poniższych danych:

A=[2 1 0; 1 3 1;0 1 2]
b=[10;-10;10]
x0=[0;0;0]
delta=0.001

maxit=100000

Wynik:

x=gseid(A,b,x0,delta,maxit)

x =

9.9996

-9.9997

9.9999

4. Wykres zbieżności Jabobiega oraz zmiany wartosci „e”

a) implementacja metody:

function x=gseid(A,b,x0,delta,maxit);

%A macierz współczynników
%b prawa strona układu równań
%x0 punkt startowy 
%delta dokładnośc rozwiązania
%maksymalna liczba iteracji

[m,n]=size(A);
P=x0;
x=P;
e=norm(x-P);

for i=1:maxit
   for j=1:n
       
       if(j==1)
           s=0;
           for c=2:n
           s=s+A(1,c)*P(c);
           end;
           
           x(1)=(b(1)-s)/A(1,1);
       elseif(j==n)
           s=0;
           for c=1:n-1
               s=s+A(n,c)*x(c);
           end;
           x(n)=(b(n)-s)/A(n,n);
       else
           s=0;
           for c=1:j-1
               s=s+A(j,c)*x(c);
           end;
           for c=j+1:n
               s=s+A(j,c)*P(c);
           end;
           x(j)=(b(j)-s)/A(j,j);
       end;
   end;
e=norm(x-P);
e_w(i)=e;
P=x;
iter(i)=i;
zmx1(i)=x(1);
if(e<delta) break;
end;
end;

plot(iter, zmx1,'r');
hold on
plot(iter, e_w,'g');
grid
ylabel('Wartość funkcji'),xlabel('Kroki iteracjji');
hold off
title('Zbieżność metody Gaussa-Seidla oraz zmiany wartości "e"')

b) sprawdzenie dla danych:

A=[2 1 0; 1 3 1;0 1 2]
b=[10;-10;10]
x0=[0;0;0]
delta=0.001

maxit=100000

c) wykres:

III Wykresy

Wykres zbieżności metody Jacobiego:

Wykres zbieżności metody Gaussa-Seidla:

IV Porównanie metod Jacobiego i Gausa-Seidla (wnioski).

• Metoda Gaussa-Siedela jest bardziej zbieżna od metody Jacobiego, pozwala szybciej znaleźć rozwiązanie.

• Dla małych układów równań najlepsza jest metoda bezpośrednia czyli Metoda eliminacji Gaussa.

• Metoda Gaussa-Siedela jest podobna do metody Jacobiego , jednak jest szybciej zbieżna do rozwiązania.

Wykonali : Krzysztof Maćkowski, Daniel Szepe

---