W Y K Ł A D 12

OBWODY MAGNETYCZNIE SPRZĘŻONE

Do pełnego opisu zależności napięciowo-prądowych dla obwodów sprzężonych magnetycznie konieczna jest znajomość pewnej cechy konstrukcyjnej, a mianowicie tzw. zacisków jednoimiennych. Zaciski te oznaczamy odpowiednimi symbolami graficznymi ∗, °, • itd.

Dwa zaciski należące do dwóch różnych cewek sprzężonych magnetycznie nazywamy zaciskami jednoimiennymi, jeżeli przy jednakowym zwrocie prądów względem tych zacisków następuje sumowanie w obrębie każdej cewki strumienia własnego i obcego (strumienie się wspomagają).

12.1. Połączenia szeregowe dwóch liniowych cewek magnetycznie sprzężonych

Przy tego rodzaju połączenia mogą wystąpić dwa przypadki:

a) połączenie szeregowe zgodne,

2. połączenie szeregowe przeciwne.

c)

Rys.12.1. Połączenie szeregowe dwóch rzeczywistych cewek magnetycznie sprzężonych:

a) połączenie szeregowe zgodne z pokazanym nawinięciem cewki; b) równoważny obwód z zaznaczonymi zaciskami jednoimiennymi, c) wykres wektorowy

u = u_R1+e_L1+e_M21+e_L2+e_M12+u_R2,

u = (R₁+R₂)i + (L₁+L₂+2M)
. (12.1)

L_z1 = L₁ + L₂ + 2M. (12.2)

U = (R₁+R₂)I + jω(L₁+L₂+2M)I, (12.3)

ωL=X_L - nazywamy reaktancją własną cewki,

ωM=X_M - nazywamy reaktancją wzajemną cewek.

c)

Rys.12.2. Połączenie szeregowe dwóch rzeczywistych cewek magnetycznie sprzężonych: a) połączenie szeregowe przeciwne z pokazanym nawinięciem cewek; b) równoważny obwód z zaznaczonymi zaciskami jednoimiennymi, c) wykres wektorowy

u = u_R1 + e_L1 - e_M21 + e_L2 - e_M12 + u_R2,

u = (R₁ + R₂) i + (L₁ + L₂ - 2M)
. (12.4)
L_z2** = L₁ + L₂ - 2M . (12.5)

U = (R₁ + R₂) I + jω (L₁ + L₂ - 2M) I .

Korzystając z zależności (12.2) i (12.5) można wyznaczyć indukcyjność wzajemną,
. (12.6)

O wzajemnym zwrocie strumieni magnetycznych, a tym samym kierunku napięcia indukcji własnej i wzajemnej decydują dwa czynniki:

• sposób nawinięcia cewek,

• zwroty prądów w cewkach.

Rys.12.3. Układ do wyznaczania zacisków jednoimiennych dwóch cewek sprzężonych magnetycznie

Po zamknięciu wyłącznika w obwodzie z cewką L₁ popłynie prąd
, który spowoduje indukowanie się napięcia indukcji wzajemnej na cewce L₂.

.

12.2. Połączenie równoległe cewek idealnych sprzężonych magnetycznie

Rys.12.4. Połączenie równoległe dwóch idealnych cewek sprzężonych magnetycznie:

1. połączenie zgodne; b) równoważna indukcyjność własna dla tego połączenia;

c) połączenie przeciwne; d) równoważna indukcyjność własna dla tego połączenia

(12.7)

Po przekształceniu równań (12.7) otrzymujemy (przy warunku L₁ L₂ > M², który praktycznie zawsze jest spełniony)

,
. (12.8)

U = jωL₁I₁ + jωMI₂,

U = jωL ₂I₂ + jωMI₁,
. (12.9)
I = I₁ + I₂,

(12.10)

,
(12.11)

. (12.12)

12.3. Połączenie transformatorowe cewek magnetycznie sprzężonych

Rys.12.5. Połączenie transformatorowe dwóch cewek magnetycznie sprzężonych: a) sposób nawinięcia; b) równoważny schemat z zaznaczonymi zaciskami jednoimiennymi

, (12.13)

gdzie: 0≤ k ≤ 1 - współczynnik sprzężenia magnetycznego.

Do uzwojenia pierwotnego przyłączone jest napięcie zasilające U₁, natomiast do uzwojenia wtórnego przyłączona jest impedancja Z₂. Równania układu przedstawionego na rys.12.6, dla wartości skutecznych zespolonych, są postaci:

U₁ = U_R1+ U_L1 - U_M,

Rys.12.6. Obwód reprezentujący transformator powietrzny

U₂ + U_R2 + U_L2 - U_M = 0 ,

a stąd:

(12.14)

,

. (12.15)

Dla Z₂ = R,

. (12.16)

Rozważmy dwa przypadki:

1. Strona wtórna jest rozwarta R = ∞, I₂ = 0. Taki stan pracy nazywamy stanem jałowym pracy transformatora. W tym stanie pracy wzór (12.16) przyjmuje postać

Z_we = R₁ + jωL₁ ,

. (12.17) U₂ = ωM I₁ . (12.18)

2. Strona wtórna jest obciążona R≠ 0, I₂ ≠ 0, wówczas

.

. (12.19)

Na skutek płynącego prądu I₂ następuje zwiększenie rezystancji zastępczej i zmniejszenie części urojonej impedancji wejściowej o czynniki

. (12.20)
, (12.21)
w stosunku do impedancji wejściowej dla stanu jałowego pracy transformatora (I₂ =0).

P₁₂ = Re {jωMI₁I₂^*}. P₂₁ = Re {jωMI₂I₁^*}.

Rys.12.7. Wykres wektorowy dla transformatora powietrznego (Dla Z₂ = R+jX -charakter rezystancyjno-indukcyjny)

12.4. Analiza obwodów sprzężonych magnetycznie

12.4.1. Modele równoważne ze źródłami sterowanymi

U₁ = (R₁+jωL₁)I₁ + jωMI₂ , (12.22a)

U₂ = (R₂+jωL₂)I₂ + jωMI₁ . (12.22b)

Rys.12.8. Dwie cewki magnetycznie sprzężone: a) schemat ze sprzężeniem, b) równoważny schemat bez sprzężeń ze źródłami sterowanymi

U₁ = jωL₁I₁ + jωMI₂ , (12.23a)

U₂ = jωL₂I₂ + jωMI₁ . (12.23b)

Rys.12.9. Dwie cewki izolowane galwanicznie sprzężone magnetycznie: a) schemat cewek sprzężonych; b) równoważny schemat ze źródłami sterowanymi

12.4.2. Modele równoważne cewek sprzężonych połączonych we wspólnym węźle

U₁ = jωL₁I₁ + jωMI₂ , (12.24)
U₂ = jωL₂I₂ + jωMI₁ . (12.25)

U₁ = jω(L₁-M)I₁ + jωMI . (12.26)

U₂ =jω(L₂-M)I₂+jωMI .(12.27)

Rys.12.10. Dwie cewki sprzężone magnetycznie: a) połączenie we wspólnym węźle jednoimiennych zacisków (zgodne) cewek sprzężonych magnetycznie; b) równo­ważny model bez sprzężeń

Rys.12.11. Dwie cewki sprzężone magnetycznie: a) połączenie we wspólnym węźle niejednoimiennych zacisków (przeciwne) cewek sprzężonych magnetycznie; b) równoważny model bez sprzężeń

1

6

---