mzm - etap wojewodzki 2005, Matematyka


Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Wiadomo, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia 0x01 graphic
? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2 (6 punktów)

Udowodnij, że dla dowolnego 0x01 graphic
pole figury ograniczonej wykresami funkcji 0x01 graphic
i 0x01 graphic
jest mniejsze od 0x01 graphic
.

Zadanie 3 (6 punktów)

Udowodnij, że jeżeli dla dowolnych, parami różnych, liczb rzeczywistych a, b, c oraz dowolnych liczb rzeczywistych x, y spełnione są warunki: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Zadanie 4 (6 punktów)

Dany jest romb ABCD i takie punkty E, F, G, H należące do boków, odpowiednio, AB, AD, CD, CB, że 0x01 graphic
. Udowodnij, że czworokąt EFGH ma pole dwa razy mniejsze od pola rombu ABCD.

Zadanie 5 (6 punktów)

Wiadomo, że dla danych liczb całkowitych a, b, c liczba 0x01 graphic
jest podzielna przez 6 i liczba ab + bc + ac jest podzielna przez 3. Udowodnij, że 0x01 graphic
jest podzielne przez 6.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II liceum, klasa II oraz III technikum

z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Dane są ciągi arytmetyczne: 0x01 graphic
. Niech wyrazy ciągu 0x01 graphic
będą zdefiniowane następująco: 0x01 graphic
. Udowodnij, że ciąg 0x01 graphic
od pewnego wyrazu jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 2 (6 punktów)

Rozwiąż równanie: 0x01 graphic
.

Zadanie 3 (6 punktów)

Wewnątrz ostrokątnego trójkąta ABC wybrano punkt D. Wiadomo, że dwa z promieni okręgów opisanych na trójkątach: ABD, ACD, BCD maja długości równe długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC. Udowodnij, że w rzeczywistości wszystkie cztery promienie mają równe długości.

Zadanie 4 (6 punktów)

Dla pewnych liczb całkowitych m i n liczba 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą. Udowodnij, że liczba 0x01 graphic
też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 5 (6 punktów)

W równoramiennym trójkącie ABC miara kąta przy wierzchołku A jest równa 0x01 graphic
. Udowodnij, że jeżeli BP jest dwusieczną kąta ABC, to 0x01 graphic
.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa III z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, które spełniają układ równań:

0x01 graphic
.

Zadanie 2 (6 punktów)

Dana jest funkcja f , dla której spełniony jest warunek:

0x01 graphic
, dla każdego 0x01 graphic
.

Udowodnij, że funkcja f jest funkcją okresową.

Zadanie 3 (6 punktów)

Dla pewnych liczb całkowitych m i n liczba 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą. Udowodnij, że liczba 0x01 graphic
tez jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4 (6 punktów)

Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC. Odcinek MN jest równoległy do boku AB, przy czym punkt M należy do odcinka AC, a punkt N należy do odcinka BC. Na odcinku AB został wybrany punkt P. Udowodnij, że iloczyn pól trójkątów CNP i CMP jest największy, gdy punkt P jest środkiem odcinka AB.

Zadanie 5 (6 punktów)

Rzucamy n-krotnie monetą. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w jednym rzucie jest równe p Niech A oznacza zdarzenie: w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś 0x01 graphic
: w n rzutach wypadło k orłów. Dla jakich wartości parametru p zdarzenia A i 0x01 graphic
są niezależne? (0x01 graphic
)

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic

2 p

Podanie odpowiedzi poprzez podanie takich liczb a,c,e, których suma jest równa 50 np. 25 + 25 + 0 = 50

2 p

Zadanie 2 (6 pkt.)

Wyznaczenie punktów wspólnych wykresów danych funkcji: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

2 p

Obliczenie pola czworokąta: 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że S jest mniejsze od 0x01 graphic

2 p

Zadanie 3 (6 pkt.)

Uzyskanie z danych równań układu warunków: (1) 0x01 graphic

(2) 0x01 graphic
wraz z powołaniem się na wykorzystanie założenia, że liczby a, b, c są parami różne

3 p

Uzyskanie z warunków (1) i (2) równości: 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że a + b + c = 0

1 p

Zadanie 4 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że prosta AC jest osią symetrii czworokąta EFGH i że czworokąt EFGH jest trapezem równoramiennym

1 p

Uzasadnienie, że długość wysokości trapezu EFGH jest równa połowie długości przekątnej AC

2 p

Uzasadnienie, że suma długości podstaw trapezu EFGH jest równa długości przekątnej BD

2 p

Wykazanie, że pole trapezu EFGH jest równe połowie pola rombu ABCD

1 p

Uwaga: jeżeli uczeń zauważy i uzasadni, że odcinek FH jest równoległy do odcinka AB oraz, że 0x01 graphic
, otrzymuje 2 punkty

Zadanie 5 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że dla każdej liczby całkowitej a reszta z dzielenia 0x01 graphic
przez 6 jest równa reszcie z dzielenia a przez 6 itd.

2 p

Zauważenie, że 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że reszta z dzielenia liczby 0x01 graphic
przez 6 jest równa reszcie z dzielenia 0x01 graphic
przez 6

2 p

Uwaga: Jeżeli uczeń uzasadni, że 0x01 graphic
jest podzielne przez 2, otrzymuje 2 punkty

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że istnieje taka liczba naturalna k, że dla każdej liczby naturalnej n 0x01 graphic
k wyrażenie 0x01 graphic
ma stały znak (przy założeniu, że 0x01 graphic
jest różnicą ciągu 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
- różnicą ciągu 0x01 graphic
)

3 p

Uzasadnienie, że ciąg 0x01 graphic
jest arytmetyczny począwszy od wyrazu ck

3 p

Zadanie 2 (6 pkt.) I sposób

Wyznaczenie dziedziny: 0x01 graphic

2 p

Zauważenie, że wyrażenia: 0x01 graphic
przyjmują wartości największe dla x = -1.

3 p

Sprawdzenie, że jedynym rozwiązaniem równania jest x = -1.

1 p

Zadanie 2 (6 pkt.) II sposób

Wyznaczenie dziedziny: 0x01 graphic

2 p

Zapisanie równania w postaci: (*) 0x01 graphic
i uzasadnienie, że dla każdego 0x01 graphic

1p

Sprowadzenie równania (*) do postaci 0x01 graphic
przez podniesienie do kwadratu stronami

2p

Rozwiązanie równania 0x01 graphic
i zapisanie odpowiedzi: x = -1.

1p

Zadanie 3 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

2 p

Udowodnienie, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, przy założeniu, że promień okręgu opisanego na trójkącie ABD jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie BDC

2 p

Uzasadnienie, że promień okręgu opisanego na trójkącie ADC jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie ABC

2 p

Zadanie 4 (6 pkt.)

Zapisanie, że 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą

3 p

Podanie, że 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą

1 p

Zadanie 5 (6 pkt.)

Wybranie na odcinku BC takiego punktu R, że 0x01 graphic

1 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic

1 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic

1 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic

2 p

Zapisanie, że 0x01 graphic

1 p

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas trzecich z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)

Zapisanie układu równań danego w zadaniu w postaci równoważnej:

(1) 0x01 graphic

2 p

Rozwiązanie układu (1)

3 p

Podanie odpowiedzi x = y =1

1 p

Zadanie 2 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że dla każdej liczby rzeczywistej x: 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że dla każdej liczby rzeczywistej x 0x01 graphic

3 p

Podanie wniosku, że f jest okresowa

1 p

Zadanie 3 (6 pkt.)

Zapisanie, że 0x01 graphic

2 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą

3 p

Podanie, że 0x01 graphic
jest liczbą całkowitą

1 p

Zadanie 4 (6 pkt.)

Zapisanie, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, gdzie h jest długością wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, zaś 0x01 graphic

2p

Uzasadnienie, że iloczyn 0x01 graphic
przyjmuje wartość największą, gdy 0x01 graphic
przyjmuje wartość największą

2 p

Wykazanie, że 0x01 graphic
przyjmuje wartość największą, gdy punkt P jest środkiem odcinka AB

2p

Zadanie 5 (6 pkt.)

Uzasadnienie, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic

1 p

Uzasadnienie, że 0x01 graphic
, dla 0x01 graphic

2 p

Zapisanie, że dla 0x01 graphic
zdarzenia A i 0x01 graphic
są niezależne, gdy 0x01 graphic
(*)

1 p

Rozwiązanie równania (*) i podanie odpowiedzi: 0x01 graphic
lub p = 1 lub (p = 0 i 0x01 graphic
)

2 p

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt )

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 10 cm i 20 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które ten okrąg podzielił przeciwprostokątną.

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie:

0x01 graphic

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Narysuj wykres funkcji 0x01 graphic
.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja 0x01 graphic
+ m

nie ma miejsc zerowych.

Zadanie 4 ( 6 pkt )

W dwóch stopach miedzi i cynku stosunki mas tych metali wynoszą odpowiednio: 4 : 1

i 1 : 3. Po stopieniu 10 kilogramów pierwszego stopu, 16 kilogramów drugiego i pewnej ilości czystej miedzi otrzymano stop, w którym masy miedzi i cynku pozostają w stosunku

3 : 2.Oblicz ciężar nowego stopu.

Zadanie 5 ( 6 pkt)

Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD równoległoboku ABCD. Wykaż, że:

  1. Punkty K, L przecięcia przekątnej BD odpowiednio przez proste AN i AM dzielą tę przekątną na 3 równe części,

  2. Pole pięciokąta KLMCN stanowi 0x01 graphic
    pola równoległoboku ABCD.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy I LO i I Technikum- zakres podstawowy

Nr

zad

Wykonana czynność

Pkt

1

Rysunek z oznaczeniami

1

Obliczenie długości przeciwprostokątnej:100x01 graphic

1

Wykazanie, że AD, (gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego trójkąta a D punktem przecięcia okręgu i przeciwprostokątnej) jest wysokością trójkąta - kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym

1,5

Obliczenie długości odcinka BD: 20x01 graphic

1,5,

Obliczenie długości odcinka DC: 80x01 graphic

1

2

Zauważenie, że dla każdej wartości y wyrażenie y2 + 1 przyjmuje wartości dodatnie a tym samym czynniki iloczynu x(y2 + 1 ) muszą być dodatnie

1

Zapisanie alternatywy układów równań z uwzględnieniem rozkładu liczby 48 na czynniki naturalne

3

Wybór układów, których rozwiązaniem są pary liczb całkowitych:

x = 48 lub x = 24

y2 + 1= 1 y2 + 1=2

1

Rozwiązanie układów i podanie odpowiedzi: Pary liczb (48, 0), (24, 1), (24, -1) spełniają równanie

1

3

Zapisanie przepisu funkcji w postaci: 0x01 graphic

1

Zapisanie przepisu funkcji w postaci: 0x01 graphic

3

Narysowanie wykresu funkcji

0,5

Podanie zbioru do którego musi należeć m, aby funkcja nie posiadała miejsc zerowych : m 0x01 graphic
0x01 graphic

1,5

4

Obliczenie masy miedzi w pierwszym stopie: 8 kg,

1,5

Obliczenie masy miedzi w drugim stopie: 4 kg,

1,5

Obliczenie masy czystej miedzi, którą stopiono: 9 kg

2

Obliczenie ciężaru nowego stopu: 35 kg

1

5

Rysunek z oznaczeniami

0,5

Zauważenie, że punkty K, L są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów ACD

i ABC

0,5

Zapisanie związków wynikających z tego, że punkty K,L są środkami ciężkości trójkątów: 0x01 graphic

1

Zapisanie związków wynikających z tego, że: przekątne w równoległoboku dzielą się na połowy czyli0x01 graphic
, gdzie O jest środkiem symetrii równoległoboku i z wcześniejszych zapisów: 0x01 graphic

1,5

Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku są pola trójkątów ABM i ADN: 0x01 graphic

1

Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku jest pole trójkąta AKL: 0x01 graphic

0,5

Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku jest pole pięciokąta: 0x01 graphic

1

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II LO, II i III Technikum - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 (6 pkt )

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniające równanie:

xy = 20 - 3x + y

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Pewien wielomian jest podzielny przez x -2.Przy dzieleniu tego wielomianu przez x -1 otrzymujemy resztę 2, zaś przy dzieleniu przez x - 3 resztę - 4.

Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez ( x -1) ( x - 2)( x - 3).

Zadanie 3 ( 6 pkt )

W trapezie ABCD dane są kąty przy podstawie dolnej, takie, że 0x01 graphic
.

Przekątna BD ma długość 60x01 graphic
cm i jest prostopadła do boku AD.

Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 4 ( 6 pkt)

Dla jakich 0x01 graphic
rozwiązaniem układu:

0x01 graphic

jest dokładnie jedna para liczb ujemnych?

Zadanie 5 ( 6 pkt)

Jeden z wierzchołków trójkąta równobocznego jest wierzchołkiem paraboli 0x01 graphic

a pozostałe należą do paraboli.

Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy II LO, II i III Technikum - zakres podstawowy

Nr

zad

Wykonana czynność

Pkt

1

Wyznaczenie niewiadomej np. x z równania: x = 0x01 graphic

1

Zapisanie ułamka w postaci sumy: x = 1 + 0x01 graphic

2

Zapisanie wartości y, dla których ułamek 0x01 graphic
przyjmuje wartości całkowite:

- 20, - 4, - 2, 14

1

Obliczenie wartości x dla odpowiednich wartości y.

1

Udzielenie odpowiedzi: pary liczb (0, - 20 ), ( -16, - 4), ( 18, - 2), ( 2, 14) spełniają równanie.

1

2

Zapisanie faktu, że reszta z dzielenia danego wielomianu W (x) przez

( x -1) (x - 2)( x - 3) jest wielomianem co najwyżej drugiego stopnia lub wielomianem zerowym

W ( x ) = ( x -1) (x - 2)( x - 3)Q(x) + (ax2 + bx + c )

1

Znajomość twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x - r

0,5

Zapisanie układu równań

0x01 graphic

1,5

Rozwiązanie układu równań: a = - 1, b = 1, c = 2

2

Zapisanie szukanej reszty: - x2 + x + 2

1

3

Rysunek wraz z oznaczeniami

1

Wyznaczenie długości ramienia AD: 60x01 graphic
cm.

1

Obliczenie długości podstawy dolnej trapezu z trójkąta prostokątnego ABD: 12 cm

1

Obliczenie długości wysokości DE trapezu: 6 cm

0,5

Obliczenie długości ramienia BC: 40x01 graphic

0,5

Obliczenie długości podstawy górnej: 2( 3 - 0x01 graphic
) cm

1,5

Obliczenie obwodu trapezu: 2( 30x01 graphic
+ 0x01 graphic
+ 9)

0,5

4

Obliczenie wyznaczników:

W = 2 ( sin0x01 graphic
+ 1) ( sin0x01 graphic
- 0x01 graphic
), Wx = sin0x01 graphic
+ 1, Wy = sin 0x01 graphic
( sin 0x01 graphic
+ 1)

1,5

Podanie warunku, dla którego układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie:

W0x01 graphic
tzn. dla 0x01 graphic

2

Obliczenie x , y : 0x01 graphic

0,5

Sformułowanie warunku, dla którego x i y są ujemne: sin0x01 graphic
i sin0x01 graphic

0,5

Określenie zbioru rozwiązań tego układu nierówności: 0x01 graphic

1

Udzielenie odpowiedzi: Rozwiązaniem układu jest dokładnie jedna para liczb ujemnych gdy 0x01 graphic
0x01 graphic

0,5

5

Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej ( wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C i współrzędnych punktów przecięcia się wykresu funkcji z osiami)

1

Zapisanie współrzędnych pozostałych wierzchołków trójkąta uwzględniając, że prosta x = 2 jest osią symetrii wykresu: A =( 2 + x, x2 - 4), B = ( 2 - x, x2 - 4) gdzie x > 0

2

Zapisanie równania 0x01 graphic
wykorzystując, że długość boku BC równa się 2x

1

Rozwiązanie równania: x = 0, x =0x01 graphic
, x = - 0x01 graphic
i x>0

1

Zapisanie współrzędnych punktów A i B: A = ( 2 + 0x01 graphic
, - 1), B = ( 2 - 0x01 graphic
, - 1)

1

Druga wersja kryteriów dla zadania 5

5

Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej ( wyznaczenie współrzędnych wierzchołka i współrzędnych punktów przecięcia się wykresu funkcji z osiami)

1

Zapisanie równania prostej BC, gdzie C jest wierzchołkiem paraboli ( kąt nachylenia prostej BC do osi OX ma miarę 600):

0x01 graphic

2

Zapisanie układu równań:

0x01 graphic

0,5

Rozwiązanie układu równań:

0x01 graphic

2

Zapisanie współrzędnych punktów A i B: A = ( 2 + 0x01 graphic
, - 1), B = ( 2 - 0x01 graphic
, - 1)

0,5

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa III LO - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt )

Pary liczb całkowitych (x,y) spełniających równanie:

x3 - x2y + xy - y2 = 5

są wierzchołkami pewnego wielokąta wypukłego .

Oblicz jego obwód.

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Iloczyn wyrazu pierwszego i szóstego malejącego ciągu arytmetycznego ( an) jest równy 100. Wynik z dzielenia wyrazu drugiego tego ciągu przez szósty wyraz jest równy 3 i reszta 2.

Wyznacz ten ciąg. Oblicz o ile jest mniejsza suma 200 kolejnych początkowych wyrazów ciągu ( an) o numerach parzystych od sumy 200 kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Rozwiąż nierówność:

0x01 graphic

Zadanie 4 ( 6 pkt )

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 0,5.

Wyznacz wartość tangensa jednego z kątów ostrych tego trójkąta.

Zadanie 5 ( 6 pkt )

W turnieju tenisa stołowego rozgrywanego systemem " każdy z każdym", dwóch zawodników w czasie trwania zawodów uległo kontuzji, przy czym jeden z nich zagrał 5 partii, zaś drugi tylko 1. Wyznacz liczbę uczestników turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano razem 83 partie?

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy III LO - zakres podstawowy

Nr

zad

Wykonana czynność

Pkt

1

Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynu: ( x - y ) ( x2 + y)=5

1

Zapisanie alternatywy czterech możliwych przypadków:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
lub0x01 graphic
lub 0x01 graphic

1

Obliczenie współrzędnych wierzchołków: (2, 1), (2, - 3), ( - 3, - 4), ( -3, - 8)

2

Obliczenie długości boków: 4, 4, 50x01 graphic
, 50x01 graphic

1,5

Obliczenie obwodu: 2( 4 + 50x01 graphic
)

0,5

2

Ułożenie układu równań:0x01 graphic

1

Rozwiązanie układu równań: a1 = 20, r1 = - 3, a1` = - 0x01 graphic
, r2 = 0x01 graphic

2

Wyznaczenie ciągu spełniającego warunki zadania : a1 = 20, r = -3

0,5

Obliczenie sumy 200 kolejnych wyrazów o numerach nieparzystych: - 115 400

1

Obliczenie sumy 200 kolejnych wyrazów o numerach parzystych: - 116 000

1

Obliczenie różnicy: 600

0,5

3

Zapisanie nierówności w postaci: 0x01 graphic

1

Rozważenie trzech przypadków:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
lub 0x01 graphic

1,5

Rozwiązanie alternatywy trzech układów

3

Wyznaczenie zbioru rozwiązań: x 0x01 graphic

0,5

4

Rysunek z oznaczeniami

1

Zapisanie równania z niewiadomą a, b: 3a2 - 8 ba + 3b2 = 0

2

Rozwiązanie równania kwadratowego ze względu na a:

a1 = 0x01 graphic
, a2 = 0x01 graphic

2

Obliczenie tangensa kąta ostrego trójkąta: 0x01 graphic

Za obliczenie jednej z wartości należy przyznać maksimum punktów

1

Druga wersja kryteriów do zadania 4

4

Rysunek z oznaczeniami

0,5

Zapisanie równania 0x01 graphic
w postaci 0x01 graphic

1

Rozwiązanie układu równań:

0x01 graphic

0x01 graphic

2

Wybór właściwej wartości sin0x01 graphic
, uwzględniając, że 0x01 graphic
jest kątem ostrym trójkąta: 0x01 graphic

0,5

Obliczenie cos0x01 graphic
: 0x01 graphic

1

Obliczenie tg 0x01 graphic
:0x01 graphic

1

5

Zapisanie liczby wszystkich możliwych do rozegrania partii: 0x01 graphic

0,5

Zapisanie liczby partii, które powinien rozegrać każdy z zawodników: ( n - 1)

0,5

Zapisanie liczby partii, których nie rozegrali kontuzjowani zawodnicy:

( n - 1 -5 ) ; ( n -1 - 1 )

1

Ułożenie równania: 0x01 graphic
= 83 + n - 6 + n - 2

1

Przekształcenie równania do postaci: n2 - 5n - 150 = 0

1

Rozwiązanie równania: n1 = 15, n2 = - 10

1,5

Udzielenie odpowiedzi: W turnieju brało udział 15 zawodników

0,5

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa V technikum - profil ogólny

Etap wojewódzki- 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt)

Prosta l równoległa do boku AB trójkąta ABC dzieli ten trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz, w jakim stosunku prosta l dzieli bok AC ?

Zadanie 2 (6 pkt)

Rozwiąż równanie:

0x01 graphic
-- 6 = 0

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Na półce stoi 25 podręczników, przy czym n spośród nich to podręczniki do matematyki. Wybieramy losowo dwa podręczniki. Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jeden z nich nie jest podręcznikiem do matematyki jest równe 0,98. Oblicz, ile było podręczników do matematyki na półce.

Zadanie 4 ( 6 pkt )

Niech A będzie przedziałem otwartym, w którym funkcja określona wzorem f(x) = 0x01 graphic
jest rosnąca, natomiast B będzie dziedziną funkcji określonej wzorem g(x) = 0x01 graphic

Wyznacz A0x01 graphic
B.

Zadanie 5 ( 6 pkt )

Pole podstawy stożka, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 0x01 graphic
.

Wyznacz cosinus kąt 0x01 graphic
wiedząc, że prawdziwa jest równość: 0x01 graphic

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy IV, V- profil ogólny

Nr

zad

Wykonana czynność

Pkt

1

Rysunek z oznaczeniami

0,5

Zauważenie, że trójkąty ABC i A`B`C gdzie A` i B` są punktami przecięcia się prostej l odpowiednio z bokiem AC i BC są podobne

Zapisanie, że stosunek pól trójkątów ABC i A`B`C jest równy kwadratowi skali podobieństwa czyli 2

1

Obliczenie skali podobieństwa tych trójkątów: k = 0x01 graphic

0,5

Zapisanie równania:0x01 graphic

1

Przekształcenie równania do postaci: 0x01 graphic

2

Obliczenie, w jakim stosunku prosta dzieli bok AC: 0x01 graphic

1

2

Założenie: x2 - 4 0x01 graphic
, czyli x 0x01 graphic

0,5

Zapisanie równania pomocniczego 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

1

Rozwiązanie równania: z1 = - 0x01 graphic
, z2 = 4

1

Zapisanie alternatywy równań:

0x01 graphic
= - 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
= 4

0,5

Rozwiązanie alternatywy równań:

0x01 graphic
= - 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
= 4: x = 0x01 graphic

2,5

Udzielenie odpowiedzi: rozwiązaniem równania jest liczba x = 0x01 graphic

0,5

3

Opisanie przestrzeni zdarzeń elementarnych

0,5

Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych

0,5

Opisanie zdarzenia A` - losowo dwa wybrane podręczniki są podręcznikami do matematyki

1

Obliczenie P(A`): 0,02

1

Zapisanie równania n (n-1): 600 = 0,02 i n 0x01 graphic
N i n <26

1

Rozwiązanie równania z uwzględnieniem założenia; n = 4

2

4

Określenie dziedziny funkcji: Df = R

0,5

Obliczenie pochodnej funkcji: 0x01 graphic

1

Wyznaczenie zbioru A : A = (0, + 0x01 graphic
)

0,5

Sformułowanie warunków dla określenia dziedziny funkcji:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

1,5

Wyznaczenie zbioru B: B =[0x01 graphic
,0 )0x01 graphic
[0x01 graphic
)

2

Wyznaczenie zbioru A0x01 graphic
B: [0x01 graphic
)

0,5

5

Rysunek wraz z oznaczeniami

0,5

Zapisanie równania: 40x01 graphic
r2- 0x01 graphic
R2= 0x01 graphic
Rl - 4 0x01 graphic
r2 gdzie R jest długością promienia podstawy stożka, r długością promienia kuli a l długością tworzącej stożka

1

Przekształcenie równania do postaci: 80x01 graphic

0,5

Zapisanie równania w postaci: 8tg20x01 graphic
= 1 + 0x01 graphic

1

Przekształcenie równania do postaci: 9 0x01 graphic

2

Rozwiązanie równania i udzielenie odpowiedzi: cos0x01 graphic

1

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów



Wyszukiwarka