DYNAMIKA:
Zadanie 1:
Punkt o masie m zsuwa się z wysokości h wzdłuż równi pochyłej nachylonej pod kątem * do poziomu , a następnie porusza się po prostej poziomej. Obliczyć jaka drogę zo przebędzie ten punkt do chwili zatrzymania się , wiedząc , że ruch punktu rozpoczął się z punktu A bez prędkości początkowej a współczynnik tarcia na obu częściach toru wynosi *.
Rozwiązanie:
Na punkt działają siły:
Siła ciężkości mg
Reakcja normalna N
Siła tarcia T
Zgodnie z drugim prawem Newtona równanie ruchu ma postać:
Gdzie a jest wektorem przyspieszenia.
Można przyjąć układ współrzędnych Axy kierując oś Ax wzdłuż linii największego spadku równi pochyłej. Rzutując wektory równania na osie układu współrzędnych otrzymamy równania , wiążące z sobą siły działające na punkt.
Rzut na kierunek osi Ax:
Rzut na kierunek osi 
Ay:
Wiec:
Przy zsuwaniu się punktu z równi siła tarcia wynosi:
Powyższe równanie można podstawić do równania
Wtedy otrzymamy:
Stąd wynika , że ruch jest jednostajnie przyspieszony.
Rozpoczął się bez prędkości początkowej z punktu A gdzie przyjęliśmy początek układu
współrzędnych więc równanie ruchu ma postać:
a prędkość będzie określana wzorem:
Przez tb oznaczmy czas w którym zsuwający się punkt osiągnie punkt B.
Przebyta w tym czasie droga wynosi:
Stąd wyliczamy
Prędkość jaką ma punkt w punkcie B:
Prędkość ta będzie prędkością początkową punktu w jego ruchu po prostej BC , wzdłuż której przyjmiemy oś Bz. Rzutując na tę oś wektory równania
Otrzymujemy:
Stąd:
Jak wynika z powyższego wyrażenia przyspieszenie az ma stałą wartość i jest ujemne a więc ruch punktu po prostej BC jest jednostajnie opóźniony.
Jeśli przyjmiemy że ruch punktu zaczął się w chwili t2 = 0 to równanie ruchu ma postać:
A prędkość jego określa wzór:
Przyjmijmy ,że po upływie czasu tc od chwili minięcia punktu B, punkt materialny zatrzyma się w punkcie C:
Stąd:
Poszukiwana długość zo odcinka BC określona jest wzorem:
Punkt zatrzyma się zatem w odległości:
od punktu B.
Zadanie 2
Przez kołek K przerzucono wiotki sznur , na którego jednym końcu zawieszono ciało o masie m1 a drugi koniec przymocowano do ciała o masie m2 , leżącego na płaszczyźnie poziomej.
Wyznaczyć siłę S napięcia sznura i wartość przyspieszenia z jakim poruszać się będą obydwa ciała.
Rozwiązanie:
Do każdego z ciał oddzielonych od siebie myślowo przykładam siły:
Siły ciężkości i siły reakcji. Przedstawia to rysunek b.
Równania dynamiczne ruchu ciał:
Dala ciała o masie m1:
Dla ciała o masie m2
Z równań tych znajdujemy wartość napięcia sznura:
I wartość przyspieszenia z jakim będą poruszać się dwa ciała:
Zadanie 3
Na końcach wiotkiej , nierozciągliwej i nieważkiej linki przerzuconej przez gładki kołek
zawieszono dwa ciała o masach m i m1 przy czym w położeniu początkowym ciało o masie m znajdowało się na wysokości h nad płaszczyzną ab. Przyjmując , że m>m1 obliczyć po jakim czasie t i z jaką prędkością V ciało o masie m opadnie na tę płaszczyznę.
Rozwiązanie:
Linka jest nierozciągliwa , więc przyspieszenia ciał będą takie same.
Na ciała działają siły przedstawione na rysunku b.
Równania ruchu ciał będą wyglądały następująco:
Z równań tych znajdujemy:
Z otrzymanego wyrażenie wiadomo, że ciała poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wysokość h można określić wzorem.
Po uwzględnieniu warunku początkowego
Otrzymamy:
Z wyrażenia powyższego określimy czas t po jakim ciało o masie m opadnie na płaszczyznę ab.
Prędkość jaką będzie wtedy miało:
Zadnie 4
Na powierzchni chropowatego stożka o kącie nachylenia * do poziomu obracającego się ze stałą prędkością kątową *o znajduje się punkt o masie m. Wyznaczyć największą odległość
rmax od osi obrotu w jakiej może pozostawać ten punkt , aby nie nastąpił jego poślizg po powierzchni stożka wiedząc , że współczynnik tarcia między punktem a powierzchnią stożka równy jest *. Rozpatrzyć przypadek szczególny gdy punkt spoczywa na powierzchni płaskiej tarczy.
Rozwiązanie:
Na punkt znajdujący się na powierzchni stożka działają siły przedstawione na rysunku b. Punkt ma pozostawać w jak największej odległości od osi obrotu aby nie nastąpił jego poślizg po powierzchni stożka.
Siła tarcia wynosi:
Reakcja normalna wynosi:
Wypadkowa sił skierowana jest wzdłuż promienia rmax koła zakreślanego przez punkt i wynosi:
Wypadkowa ta ma być równa iloczynowi masy i przyspieszenia dośrodkowego punktu otrzymamy:
Z równania tego otrzymujemy:
W przypadku szczególnym gdy punkt spoczywa na płaskiej tarczy poziomej tzn. gdy kąt
* = 0 :
Zadanie 5
Z równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem
zsuwa się prostopadłościan. W chwili początkowej prostopadłościan znajdował się w spoczynku w położeniu A0. Obliczyć prędkość prostopadłościanu po przebyciu drogi
A0A=s=3m jeśli współczynnik tarcia między prostopadłościanem a równią pochyłą
wynosi 0,15
Rozwiązanie:
W przypadku tym przyrost energii kinetycznej jest równy sumie prac wykonanych przez wszystkie siły.
Można rozpatrzyć da położenia prostopadłościanu
Położenie początkowe A0
Więc:
Gdzie m to masa prostopadłościanu.
Położenie A , w którym szukamy prędkości prostopadłościanu
Gdzie V jest szukaną prędkością.
Przyrost energii kinetycznej w czasie w którym prostopadłościan przebył drogę A0A=s
Jest równy sumie prac wykonanych przez siły działające na prostopadłościan:
* Siła ciężkości G=mg
Gdzie h oznacza różnicę poziomów między położeniami A0 i A
* Siła reakcji normalnej równi N
Stąd
Siła N nie wykonuje pracy
* Siła tarcia
Suma prac wszystkich sił jest równa:
Prędkość prostopadłościanu otrzymamy porównując równania:
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:
Zadanie 6
Pocisk o masie m=0,008 kg uderza z prędkością V1= 200m/s w deskę o grubości d =5 cm
przebija ją i porusza się dalej z prędkością V2 =50m/s. Obliczyć opór deski i czas przelotu pocisku przez deskę. Opór deski przyjąć jako stały i w czasie przebicia jej przez pocisk.
Rozwiązanie:
Energia kinetyczna pocisku wynosi:
w momencie uderzenia w deskępo przebiciu deski
Ubytek energii został zamieniony na pracę potrzebna do przebicia deski, paca ta jest równa
Z twierdzenia o przyroście energii kinetycznej wynika równanie:
Stąd policzymy wartość siły oporu deski:
Czas przebicia policzymy z równania ruchu pocisku:
Stąd mamy czas przelotu pocisku przez deskę:
Zadanie 7
Winda opuszcza się ze stałą prędkością Vo=0,5 m/s . Masa windy wraz z ładunkiem wynosi m=1500kg.Winda ma hamulec który w razie zerwania liny ma zatrzymać ją.
Obliczyć jaką siłę tarcia ma rozwinąć hamulec bezpieczeństwa , aby zatrzymać windę na odcinku s=10m.
Rozwiązanie:
Energia kinetyczna windy w chwili zerwania liny:
Po zahamowaniu spada do zera:
Więc:
Podczas hamowania na windę działa siła ciężkości G=mg i siła tarcia F.
Praca tych sił wynosi:
Po podstawieniu :
Stąd:
Zadanie 8
Krążek o promieniu r ustawiono na torze znajdującym się w płaszczyźnie pionowej i mającym pętle o promieniu R. Obliczyć , na jakiej wysokości h należy ustawić środek krążka aby opisał on pętle nie odrywając się od toru.
Rozwiązanie:
Krążek nie oderwie się od toru wtedy gdy siła nacisku na tor nie będzie mniejsza od zera.
Siła ta będzie miała najmniejszą wartość w chwili gdy krążek znajdzie się w najwyższym punkcie pętli.
Środek masy krążka porusza się po okręgu koła o promieniu R-r ,więc przyspieszenie normalne środka krążka wynosi:
A więc:
Nacisk zanika w przypadku gdy N=0
Taka musi być minimalna prędkość w górnym punkcie toru by krążek nie oderwał się od pętli.
Energia jaką ma wtedy krążek wynosi:
Energia ta powstanie kosztem zmniejszenia się energii potencjalnej.
Porównując ubytek energii potencjalnej do przyrostu kinetycznej otrzymamy:
Podstawiamy
I otrzymamy:
Zadanie 9
Jednorodny pełny krążek o promieniu r i masie M osadzony jest na osi. Krążek opasuje nitka , której jeden koniec przyczepiony jest krążka a na drugim końcu zawieszono ciężarek o masie m . Obliczyć przyspieszenie kątowe krążka.
Rozwiązanie:
Równanie ruchu krążka ma postać:
Gdzie I z jest momentem bezwładności krążka względem osi obrotu z czyli
* - oznacza przyspieszenie kątowe krążka
to suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na krążek względem osi obrotu.
W rozpatrywanym przypadku:
Gdzie S to napięcie nici.
Równanie dynamiczne poruszającego się ciężarka:
Stąd:
Nitka jest nierozciągliwa więc a=*r czyli:
dla krążka
Wstawiamy tę wartość do wzoru
I po wykorzystaniu wzoru
dynamiczne równanie ruchu obrotowego wygląda:
z równania tego wyliczamy przyspieszenie kątowe :
Zadanie 10
Przez pełny chropowaty krążek o masie 3m i promieniu a osadzony na gładkiej osi przerzucono wiotki i nierozciągliwy sznurek na którego końcach zaczepione są ciała A i D o masach m i 2m .
Znaleźć siły napięcia sznurka po obu stronach krążka , przy założeniu że między sznurkiem a krążkiem nie występuje poślizg.
Rozwiązanie:
Sznurek jest nierozciągliwy więc przyspieszenia obu ciał mają taką samą wartość.
Przyspieszenia ciała A skierowane jest do góry , ciała D na dół.
Zadanie rozwiązujemy metodą d'Alemberta . Aby zagadnienie dynamiki sprowadzić do zagadnienia statyki trzeba przyłożyć do poruszających się ciał odpowiednie siły bezwładności
skierowane przeciwnie niż przyspieszenia.
Do ciała A trzeba przyłożyć skierowana do dołu siłę:
Do ciała B trzeba przyłożyć skierowana do góry siłę:
Do krążka należy przyłożyć parę sił o momencie:
Przy czym * jest przyspieszeniem kątowym krążka a I z momentem bezwładności względem osi Oz. Dla pełnego jednorodnego krążka
Przyspieszenie styczne obwodu krążka jest równe przyspieszeniu liny , czyli i przyspieszeniu ciał
Stąd moment pary sił:
Obliczone siły bezwładności równoważą się z siłami zewnętrznymi.
Równanie rzutów sił na oś pionową ciała A :
Dla ciała D:
Dla krążka:
Krążek jest nieważki (Mb=0), więc napięcia lin po obu stronach krążka są jednakowe(S1=S2).
Podstawiając:
I otrzymane wzory na B1 , B2 i Mb otrzymamy okład równań:
Z równań tych znajdujemy:
Wyszukiwarka