Macierz
Z Wikipedii
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: miejscowość Macierz w województwie zachodniopomorskim i macierz mitochondrialna.
Macierz dwuwskaźnikowa - prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o n wierszach i m kolumnach nazywa się czasami -macierzą lub macierzą o wymiarze .
Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.
Formalnie biorąc, macierz A elementów zbioru X o n wierszach i m kolumnach jest funkcją
.
Spis treści |
Słowo macierz najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową. Takie macierze wprowadzili do matematyki James Joseph Sylvester i Arthur Cayley w połowie XIX wieku, jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych - współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań. Zamiast wzorów postaci
(może być dowolnie wiele współrzędnych) wystarczy podać współczynniki w formie tabeli: w pierwszym wierszu dla , w drugim wierszu dla itd. tak, że współczynniki przy x1 są na początku (w pierwszej kolumnie), współczynniki przy x2 po nich (w drugiej kolumnie) itd.:
.
Elementy macierzy identyfikuje się przez podanie uporządkowanej pary liczb nazywanej wskaźnikami lub indeksami, kolejno: numer wiersza i numer kolumny[1], na przecięciu których znajduje się dany element.
Macierz oznacza się zwykle wielką literą, a jej elementy małą literą ze wskaźnikami w indeksie dolnym[2], np. macierz A = (aij) ma element a11 (czyt. a-jeden-jeden) w lewym górnym rogu, a element ar,s w r-tym wierszu i s-tej kolumnie.
W informatyce odpowiednikiem macierzy jest tablica dwuwymiarowa. Element tablicy A w wierszu i i kolumnie j oznaczany jest w zależności od języka programowania np. A(i, j); A[i, j]; A[i][j]; A{i, j}.
Spotyka się różne sposoby oznaczania macierzy - przeważnie stosowane są nawiasy okrągłe[3] lub kwadratowe, gdzieniegdzie spotyka się jeszcze [4] zapis w podwójnych pionowych kreskach (co czasem przypomina wartość bezwzględną wyznacznika), np.:
Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech A = (aij) będzie macierzą o n wierszach i m kolumnach:
Macierzą transponowaną (przestawioną) do A, oznaczaną AT, nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy A, a kolumny są wierszami macierzy A. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną B do macierzy A przedstawia się następująco:
dla każdych i,j.
Macierz A nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli m = n. Zamiast „macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia n”. Główną przekątną macierzy kwadratowej A nazywamy wektor .
Podmacierz macierzy A to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze:
A o n wierszach i m kolumnach, B o n wierszach i k kolumnach,
C o l wierszach i m kolumnach i D o l wierszach i k kolumnach,
to można z nich zestawić macierz klatkową
.
Wzór na elementy takiej macierzy jest mniej komunikatywny niż obrazek. Warto również zwrócić uwagę na sposób zapisu podmacierzy (bez nawiasów).
Istnieje wiele typów danych, które wygodnie zapisuje się w formie macierzy, np.
Jeżeli P opisuje graf zorientowany, to aij jest liczbą krawędzi z wierzchołka pi do wierzchołka pj.
W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej elementarną charakterystyką liczbową zmiennej losowej X jest jej wartość oczekiwana (średnia) . Dla ciągu zmiennych losowych ich współczynniki korelacji wygodnie jest zapisywać w formie tzw. macierzy kowariancji, która również jest symetryczna.
Jeżeli zbiór R, z którego bierze się elementy macierzy, jest pierścieniem przemiennym z jedynką (mówimy wtedy o macierzach nad pierścieniem R), to w zbiorze wszystkich macierzy o n wierszach, m kolumnach i elementach z pierścienia R określone są działania
mnożenia macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) wg wzoru
dodawania macierzy wg wzoru
(aij) + (bij) = (aij + bij).
Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów.
Zbiór z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa Θ o elementach równych , elementem przeciwnym do macierzy A jest macierz .
Mnożenie przez skalar spełnia warunki:
,
,
,
,
zatem zbiór z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem R. Moduł ten jest wolny rangi mn
Jeśli pierścień R jest ciałem, to zbiór z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem R o wymiarze nm.
Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych - odpowiada ono ich składaniu. O innych rodzajach mnożenia macierzy można przeczytać w osobnym artykule.
Iloczyn macierzy (nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy (prawy czynnik) daje w wyniku macierz taką, że
.
W zbiorze macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.
Mnożenie ma ciąg częściowych elementów neutralnych - macierzy jednostkowych, czyli macierzy kwadratowych stopnia k oznaczanych symbolem Ik, których wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności, a pozostałe zeru. Dla macierzy jest
.
Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się liczbą naturalną określa się w oczywisty sposób, dodatkowo przyjmuje się A0 = In dla każdej macierzy kwadratowej A stopnia n.
,
ale z drugiej strony
.
W przypadku macierzy kwadratowych również nie jest przemienne, co pokazuje poniższy przykład:
.
Jeśli są kolumnami macierzy A, to j-tą kolumną macierzy jest .
Jeśli są wierszami macierzy B, to i -tym wierszem macierzy jest .
Mnożenie macierzy jest jednak łączne i lewo- i prawostronnie rozdzielne względem dodawania, dodatkowo jest też przemienne z mnożeniem przez skalar oraz z przestawianiem:
,
i .
,
.
Macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej nazywamy macierzą diagonalną. Dokładniej: macierz A = (aij) jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy aij = 0 ilekroć . Macierz jednostkowa jest więc szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej (oczywiście jest nią również macierz zerowa). Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia n zapisuje się jako . Mnożenie macierzy diagonalnych jest szczególnie proste:
.
Poza tym mnożenie macierzy diagonalnej przez inną jest przemienne, ale nie jest to regułą jeśli chodzi o pozostałe ich rodzaje:
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci nazywane macierzami skalarnymi. Mnożenie przez nie jest trywialne, dodatkowo jest już przemienne:
Są to jedyne macierze kwadratowe stopnia n, których mnożenie jest przemienne z innymi macierzami tego typu.
Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym można określić za pomocą dokładnie tego samego wzoru co wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a jego własności się psują. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne. Przykładem może być enumerator i denumerator marszrut w grafie.
Niech będzie zbiorem wierzchołków grafu zorientowanego, a dla danych i,j przez oznaczymy zbiór krawędzi z pi do pj.
Jeśli w zbiorze skończonych ciągów krawędzi określić działanie konkatenacji (czyli dopisywania) jako mnożenie i rozszerzyć je na formalne sumy takich ciągów tak, by było ono rozdzielne względem dodawania (rolę zera pełni ciąg pusty), to dla macierzy A = (aij), gdzie macierz An ma w wierszu i i kolumnie j sumę wszystkich marszrut długości n prowadzących z pi do pj.
Jeśli w macierzy An każdy symbol qij(s) zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu i i kolumnie j liczbę marszrut długości n z pi do pj.
W algebrze liniowej rozważa się przede wszystkim macierze nad ciałem, aczkolwiek udowodnienie pewnych twierdzeń bez korzystania z macierzy nad pierścieniem wielomianów jednej zmiennej może być kłopotliwe, dlatego w dalszej części sekcji rozważać będziemy macierze nad ciałem K.
Pięć podstawowych zastosowań macierzy jest ściśle ze sobą powiązanych, cztery z nich związane są z istnieniem (skończonych) baz w przestrzeniach liniowych skończonego wymiaru. Mając do dyspozycji bazę uporządkowaną (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów) można każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem tej bazy.
m zmiennych o współczynnikach :
macierzą układu równań nazywamy macierz współczynników ,
kolumną wyrazów wolnych (prawych stron) nazywamy macierz
,
Jeśli dodatkowo kolumny macierzy A oraz kolumnę zmiennych oznaczyć
,
to układ równań można zapisać wektorowo:
.
Wówczas powyższy układ można zapisać także macierzowo:
.
Macierz uzupełniona całkowicie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu zamiast pisać ciąg równoważnych układów równań można pisać ciąg (równoważnych) macierzy uzupełnionych, oszczędzając wielokrotne pisanie symboli niewiadomych, dodawania i znaków równości.
Jeśli jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych skończonego wymiaru[5], to dla każdej bazy uporządkowanej dziedziny V i każdej bazy uporządkowanej przeciwdziedziny W przekształceniu odpowiada (istnieje między nimi izomorfizm) macierz A = (aij) o m wierszach i n kolumnach taka, że aij jest współrzędną wektora przy wektorze wi, tzn.
.
Innymi słowy kolejne kolumny macierzy A są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia w bazie wektorów względem bazy .
Współrzędne obrazu wektora wyrażają się przez współrzędne tego wektora wzorem
,
własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego.
W szczególności mnożenie macierzy A o m wierszach i n kolumnach przez inną
opisuje przekształcenie liniowe przestrzeni w przestrzeń . Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) baz kanonicznych jest sama macierz A. Trywialnym jest fakt, że przekształceniu identycznościowemu odpowiada macierz jednostkowa.
Niech będzie innym przekształceniem liniowym, zaś bazą uporządkowaną przestrzeni U, a B jest macierzą przekształcenia ψ względem baz uporządkowanych . Macierzą złożenia (przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych jest macierz BA. Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.
Układ równań liniowych wyrażający się macierzą A wygodnie jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego :
istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron należy do obrazu przekształcenia ,
Inaczej rzecz ujmując rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego pozwala na geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.
Jeśli jest macierzą przekształcenia liniowego względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że B będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze A i B mają równe rzędy. Ten fakt pozostaje prawdziwy dla macierzy nad pierścieniami ideałów głównych, choć definicja rzędu jest nieco bardziej zawiła.
Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych bazach uporządkowanych. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy macierz przejścia (macierz zmiany bazy).
Niech będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej V, w tym kontekście nazywaną starą bazą, a układem (ciągiem) wektorów, to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz P, której kolumną o numerze j jest kolumna współrzędnych
współrzędnych wektora wj w bazie :
Uwaga
W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz P nad ciałem.
Układ jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście nową, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz P jest odwracalna, wówczas nazywa się ją macierzą przejścia (macierzą zmiany bazy) od bazy uporządkowanej do bazy .
Dla danej bazy uporządkowanej (starej) przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna P wyznacza (nową) bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:
,
,
są do siebie wzajemnie odwrotne.
Macierz przejścia P jest macierzą identycznościowego przekształcenia liniowego względem baz uporządkowanych i .
Związek między starymi współrzędnymi
wektora v (współrzędnymi wektora v względem starej bazy ) a nowymi współrzędnymi
(współrzędnymi tego samego wektora v w nowej bazie ) łatwo zapisać za pomocą mnożenia macierzy:
.
Jeśli jest przekształceniem liniowym, a A jego macierzą względem baz uporządkowanych i , dodatkowo jest nową bazą uporządkowaną dziedziny V osiągalną dzięki macierzy przejścia P, a jest nową bazą uporządkowaną przeciwdziedziny W z macierzą przejścia Q, to macierzą przekształcenia względem nowych baz jest B = Q − 1AP.
Rzeczywiście, mnożenie nowych współrzednych wektora v przez macierz B ma dawać w rezultacie nowe współrzędne wektora , a jeśli ciąg nowych współrzędnych wektora v oznaczyć , to:
opisuje stare współrzędne wektora v,
daje stare współrzędne wektora ,
zawiera nowe współrzędne wektora .
Endomorfizmem przestrzeni liniowej V nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń V jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.
Macierzą endomorfizmu względem jest zatem macierz przekształcenia liniowego względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.
Jeśli wspomniany endomorfizm ma macierz A w bazie , a P jest macierzą przejścia z tej bazy do nowej bazy uporządkowanej , to macierzą endomorfizmu względem bazy jest macierz B = P − 1AP.
Endomorfizmom odpowiada dużo mniej macierzy w różnych bazach niż przekształceniom liniowym, których bazy można zmieniać niezależnie od siebie. Dwie macierze tego samego endomorfizmu mają równe wyznaczniki, ślady, ogólnie: równe sumy minorów głównych odpowiednich stopni. Innymi słowy mają równe wielomiany charakterystyczne.
Pochodząca od Frobeniusa) metoda pozwala rozeznać, czy dwie macierze kwadratowe tego samego stopnia mogą być macierzami danego endomorfizmu; wykorzystuje ona pojęcia czynnika niezmienniczego i/lub dzielnika elementarnego (macierzy charakterystycznej), a do określenia tych pojęć konieczne są macierze nad pierścieniem wielomianów. Powszechnie znany jest prosty wniosek wynikający z tej metody, który obowiązuje wyłącznie nad ciałami algebraicznie domkniętymi, jest to tzw. twierdzenie Jordana (postać kanoniczna/normalna Jordana) i może być ono dowodzone niezależnie od ogólnej teorii.
Rozważmy przestrzeń liniową V wymiaru n nad ciałem K i określony w niej funkcjonał dwuliniowy . Każdemu układowi (ciągowi) wektorów można przyporządkować macierz kwadratową stopnia k
,
która w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma wartość B(vi,vj) funkcjonału na i-tym i j-tym wektorze. Tą macierz nazywamy macierzą Grama układu wektorów .
Jeśli powyższy układ wektorów jest bazą uporządkowaną, to macierz Grama tego układu nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego B względem bazy uporządkowanej .
Z pomocą macierzy funkcjonału dwuliniowego jego wartości wyrażają się przez współrzędne wektorów wzorem:
,
własność ta charakteryzuje macierz funkcjonału dwuliniowego.
W szczególności funkcjonał dwuliniowy B jest:
,
.
W każdym z tych dwóch przypadków relacja ortogonalności (prostopadłości) wektorów jest symetryczna (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana jest bazą ortogonalną, gdy macierz G jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz G jest jednostkowa.
Uwaga!
Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli przestrzenie symplektyczne na ogół nie mają baz prostopadłych!
Macierz funkcjonału dwuliniowego również jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego. Mianowicie dla każdego ustalonego wektora każde z wyrażeń jest funkcjonałem liniowym:
.
W ten sposób jeden funkcjonał dwuliniowy B wyznacza dwa przekształcenia liniowe przestrzeni V w jej przestrzeń sprzężoną V * :
,
.
Jeśli przyjąć za bazę przestrzeni sprzężonej V * bazę sprzężoną do bazy przestrzeni V, to macierz jest macierzą przekształcenia liniowego względem tych baz, a macierzą przekształcenia liniowego jest macierz transponowana GT.
Jeśli P jest macierzą przejścia do nowej bazy , to
.
podprzestrzeń przestrzeni generowaną przez kolumny macierzy A,
podprzestrzeń przestrzeni generowaną przez wiersze macierzy A.
Dowodzi się, że ich wymiary są równe, a wspólną wartość ich nazywamy rzędem r(A) macierzy A. Dowodzi się również, że ten wymiar jest stopniem największego niezerowego minora macierzy A; każdy niezerowy minor macierzy A stopnia równego jej rzędowi nazywamy minorem bazowym tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia n jest nieosobliwa, gdy jej rząd jest równy jej stopniowi. Oczywiście rząd macierzy A nie przekracza liczby jej wierszy i liczby jej kolumn.
Działania algebraiczne na ogół znacznie zmieniają rząd. Dla nieosobliwej macierzy kwadratowy A, macierz − A również jest nieosobliwa, jednakże ich suma A + ( − A) ma rząd równy zeru.
Prawdziwe są jednak poniższe nierówności
,
oraz .
Jeśli macierz B jest nieosobliwa, to zachodzą równości
r(AB) = r(A) = r(BA).
Nad pierścieniem ideałów głównych R podmoduł modułu wolnego jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla -macierzy A nad pierścieniem ideałów głównych R rozważa się dwa podmoduły:
podmoduł modułu wolnego generowany przez kolumny macierzy A,
podmoduł modułu wolnego generowany przez wiersze macierzy A.
Dowodzi się, że te dwa podmoduły mają równe rangi i wspólną wartość ich rangi nazywa się rzędem macierzy A. Rząd macierzy A jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad ciałem ułamków pierścienia R; rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.
Powiemy, że macierze A i B są równoważne, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne takie, że P − 1AQ = B.
Powiemy, że macierze kwadratowe A i B są podobne, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna P spełniająca równość P − 1AP = B.
Powiemy, że macierze symetryczne (lub antysymetryczne) A i B są kongruentne albo sprzężone, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna P taka, że PTAP = B.
Powiemy, że macierze A i B są równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A, których zastosowanie do macierzy A da macierz B.
Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.
Rozważa się różne uogólnienia, np.
macierze z nieskończoną liczbą wierszy i/lub kolumn,
macierze wielowskaźnikowe: macierze jednowskaźnikowe to wektory, macierze dwuwskaźnikowe to macierze opisane powyżej, macierze trójwskaźnikowe to dane uszeregowane w kratkach prostopadłościanu, ogólnie macierz r-wskaźnikowa elementów zbioru X to funkcja
.
Macierz jednostkowa
Z Wikipedii
Macierz jednostkowa (lub identycznościowa) to macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:
.
Obrazowo, na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.
Macierz jednostkową stopnia n zwykle oznacza się symbolem In.
Macierz |
|
|
|
Matematyka
|
|
Macierz, uporządkowana prostokątna tablica liczb, dla której zdefiniowane są działania algebraiczne dodawania (odejmowania) i mnożenia.
Elementy macierzy oznaczane są aij, gdzie i=1,2,....,n. J = 1,2,..., m (w ogólności m, n mogą być nieskończone, dla skończonych m i n, gdy m=n macierz nosi miano macierzy kwadratowej stopnia n). Rząd macierzy określony jest poprzez stopień jej największego minora (Minor macierzy stopnia n).
Macierz zapisywana jest jako:
Działanie algebraiczne na macierzy podlega pewnym ograniczeniom:
1) dodawanie dwóch macierzy jest możliwe tylko dla macierzy o jednakowych liczbach kolumn (n) i wierszy (m), dodanie A i B tworzy macierz C, taką, że cij=aij+bij (zapis: C=A+B)
2) mnożenie macierzy jest określone tylko wówczas, gdy liczba kolumn pierwszej równa jest liczbie wierszy drugiej (np. pewne m), pomnożenie macierzy B przez A tworzy macierz C, taką, że:
(zapis: C=A·B), mnożenie macierzy nie jest przemienne, wyróżnia się mnożenie lewo- lub prawostronne
3) zawsze określone jest mnożenie macierzy przez liczbę (np. oznaczoną λ), polegające na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę, wtedy cij=λaij (zapis: C=λA).
Szczególnym rodzajem macierzy jest macierz jednostkowa E - jest to macierz kwadratowa o elementach różnych od zera tylko dla i=j, oraz aii=1 (symboliczny zapis: aij=δij, gdzie δij delta Kroneckera).
Ważną klasą macierzy kwadratowych są macierze nieosobliwe, dla których wyznacznik jest różny od zera - dla każdej nieosobliwej macierzy można zdefiniować macierz odwrotną, taką, że A·A-1 = A-1·A = E.
Dla każdej macierzy A można zdefiniować macierz transponowaną, oznaczaną AT, którą otrzymuje się z macierz A poprzez wzajemną zamianę wierszy z kolumnami.
Własności macierzy:
1) (A·B)-1= A-1·B-1
2) (A·B)T= BT·AT
3) (A+B)T= AT+BT. (A-1)T= (AT)-1
Zobacz również: Ślad macierzy
Inne na ten temat: Macierz rzadka, Arytmetyka, Mechanika macierzowa, Przekształcenie liniowe, Własne zagadnienie, Wyznacznik, Mnożenie, więcej »
|
Rachunek macierzowy cz. 1 |
1. Podstawowe wiadomości o macierzach
Def:
Macierzą A nazywamy funkcję 2-zmiennych, która parze (i,j) gdzie i = 1,2,3,4 ....,m ; j = 1,2,3,4,......n przyporządkowuje dokładnie jeden element aij.
Uwaga: element macierzy aij może być liczbą rzeczywistą, liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania), wielomianem lub wektorem. |
Wymiar macierzy nazywamy uporządkowaną parę m n
Gdy m = n macierz kwadratowa , m = n - stopień macierzy
Gdy n = 1 wtedy macierz prostokątna jest macierzą kolumnową i można ją traktować jako m-wymiarowy wektor kolumnowy
Gdy m = 1 wtedy macierz prostokątna jest macierzą wierszową i można ją traktować jako m - wymiarowy wektor wierszowy
Śladem macierzy kwadratowej nazywamy sumę elementów położonych na głównej przekątnej
Macierz diagonalna to:
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna
:
Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz jednostkowa
(aii =ajj = 1) :
pamiętając, że :
można zapisać :
1n = [δ ij] - macierz Kroneckera |
stąd:
Macierz zerowa to :
n - liczba kolumn ; m - liczba wierszy
Jeżeli macierz kwadratowa aij = aji to macierz [aij] jest macierzą symetryczną
Jeżeli macierz kwadratowa aij = - aji to macierz [aij] jest macierzą skośniesymetryczną
Jeżeli macierz kwadratowa elementów zespolonych
(gdzie
jest liczbą zespoloną sprzężoną do
) to macierz [aij] jest macierzą hermitowską (macierzą Hermite'a)
Macierz kwadratowa górnotrójkątna to macierz postaci:
Macierz kwadratowa dolnotrójkątna analogicznie.
2. Podstawowe działania na macierzach
a) równość macierzy A = [aij] oraz B = [bij] gdy:
b) sumą (różnicą) macierzy A = [aij] oraz B = [bij] nazywamy macierz C = [cij] taką, że:
c) mnożeniem macierzy A = [aij] przez skalar nazywamy macierz B = [bij] taką, że :
d) mnożeniem macierzy A = [aij] przez macierz B = [bij] nazywamy macierz
C = [cij] taką, że :
Uwaga: stąd wynika, że mnożenie macierzy naogół jest nieprzemienne (występuje mnożenie lewo- oraz prawostronne)
Przykład 1:
BA warunek niespełniony - mnożenie niewykonalne ( bo B ma 1 - kolumnę natomiast A ma 2 wiersze )
Mechanizm:
Przykład 2:
A ma 2 - kolumny, B ma 2 - wiersze , więc warunek spełniony
Mechanizm:
BA w tym przypadku jest wykonalne !!!
Z def. sumy oraz iloczynu macierzy wynikają następujące własności:
A(BC) = (AB)C
(AB) = ( A)B
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB
e) Macierz transponowana macierzy A = [aij] o wymiarach m n, nazywamy macierz AT o wymiarach n m
Inaczej : jest to
Zamiana kolumn na wiersze |
Z def. e) wynikają następujące własności macierzy transponowanej
(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
( A)T = AT
(AB)T = ATBT
f) Macierz sprzężoną A* macierzy A = [aij] o wymiarach m n, nazywamy macierz o wymiarach n m otrzymaną w wyniku zastąpienia elementów aij przez elementy
Ogólnie:
Jednak gdy A jest macierzą hermitowską, wtedy:
A = A*
g) Macierzą dopełnień algebraicznych AK macierzy kwadratowej A = [aji]
o wymiarze n, nazywamy macierz :
gdzie Aij jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij .
Przypomnienie z teorii wyznaczników:
- dany wyznacznik :
- minor Mij (podwyznacznik) wyznacznika >1, uzyskuje się po wykreśleniu
1 kolumny oraz 1 wiersza z (*), np. M11 :
- dopełnienie algebraiczne (kofaktor) Aij elementu aij :
h) Macierzą odwrotną A-1 macierzy kwadratowej A = [aii] nazywamy macierz spełniającą warunek:
AA-1 = A-1A = 1n
Macierz odwrotną A-1 obliczamy wg. wzoru:
sprawdzenie, czy AA-1 = A-1A = 1n
c.n.d.
3. Rząd macierzy prostokątnej
Def.
Rzędem macierzy nazywamy najwyższy numer minora, jaki może z tej macierzy powstać |
Np.
nr. max minora = 3
Badamy wartość wszystkich wyznaczników (minorów) 3-stopnia, jakie można utworzyć z A, więc:
A1; A2; A3; A4 są = 0 (jedna kolumna zerowa), więc macierz A ma rząd mniejszy od 3.
Badamy zatem minory 2-go stopnia :
Np.:
Stąd: rząd macierzy A wynosi 2
Wyszukiwarka