Kinematyka punktu

Ruch - jest to zjawisko zmiany położenia ciała względem innego ciała uznanego umownie za nieruchome.
Nieruchome ciało nazywamy ciałem odniesienia.

Czas - jest w mechanice klasycznej (Newtona) pojęciem pierwotnym i absolutnym.

-Czas nie zależy od wyboru układu odniesienia i jest taki sam w każdym punkcie przestrzeni.

-Przyjmuje się, że czas jest stale nieujemny t Ⴓ 0
i występuje tylko wtedy gdy występuje ruch.

Układ odniesienia - jest to układ współrzędnych sztywno związany z ciałem odniesienia, który służy do opisu ruchu obiektu (-ów).

Tor ruchu punktu - równanie krzywej, po której następuje ruch tego punktu, np.:
y = y(x) y = 3x² - 6x + 5

1) KINEMATYKA PUNKTU W UKL. Ozyz

Opis ruchu punktu

Matematycznie ruch punktu opisujemy w postaci wektorowej lub skalarnej. Opisy te są równoważne

Równanie wektorowe ruchu: r = r(t)

Równania skalarne w ukł. Oxyz: x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Prędkość punktu w Oxyz

Wektor prędkości:

przy czym

Wartość prędkości (długość wektora):

Elementarna droga po torze:

Jeśli znamy s=s(t) to prędkość możemy obliczyć z zależności:

Przyspieszenie punktu w Oxyz

Wektor przyspieszenia punktu ma na ogół
inny kierunek niż wektor prędkości !

Wektor przyspieszenia i jego współrzędne:

Moduł przyspieszenia (długość wektora przyspieszenia):

2) KINEMATYKA PUNKTU W UKŁ. NATURALNYM

Założenia:

- Ruch punktu jest dany w postaci:

Początek układu współrzędnych jest związany
z ruchomym punktem A na torze. Układ taki nazywamy naturalnym lub trójścianem Freneta (rys nizej)

A t n b - układ naturalny

t, n, b - zależą od czasu.

t - wersor ściśle styczny,

n - wersor normalny główny,

b - wersor binormalny b=tႴn

Wektory t i n wyznaczają płaszczyznę
ściśle styczną do toru -p.

Przyspieszenie punktu w układzie naturalnym

ၲ - promień krzywizny toru w punkcie A

Kinematyka ciała sztywnego (CS)

1)RUCH CS SWOBODNEGO

Ciało sztywne - zbiór punktów, między którymi wzajemne odległości są stałe.

Ruch CS w przestrzeni E³ jest jednoznacznie opisany

za pomocą trzech punktów sztywno związanych z tym ciałem

i nie leżących na jednej prostej.

Dla trzech punktów: A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C)
mamy równania wektorowe ruchu:

Liczba stopni swobody c.s.

Zauważmy, że dla CS odległości między p-tami A, B, C są stałe:

Liczba stopni swobody CS - liczba niezależnych współrzędnych określających położenie tego ciała.

W przestrzeni E³ CS w ruchu dowolnym posiada:
k=9-3=6 stopni swobody.

Po nałożeniu na ciało sztywne pewnych ograniczeń

ruchu (więzów), zmniejszamy liczbę stopni swobody;

np. w ruchu obrotowym wokół stałej osi CS ma 1 stopień swobody (kąt obrotu wokół tej osi).

Prędkości dwóch dowolnych p-tów CS

Twierdzenie o prędkościach dwóch dowolnych p-tów CS

Rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych p-tów CS na

prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Klasyfikacja ruchów ciała sztywnego

Ogólnym przypadkiem ruchu CS jest ruch dowolny (swobodny) względem nieruchomego układu Oxyz

1. Ruch dowolny CS; k=6

2. Ruch postępowy CS; k=3

3. Ruch obrotowy CS wokół stałej osi; k=1

4. Ruch płaski CS; k=3

5. Ruch kulisty CS; k=3

2) RUCH DOWOLNY CS

Do opisu tego ruchu wprowadzimy dwa układy odniesienia:

Oxyz - układ stały (nieruchomy),

O₁x₁y₁z₁ - układ ruchomy względem Oxyz.

Interpretacja geometryczna ruchu dowolnego:

Ruch p-tu A჎C₁ მ ruch bieguna 0₁ +

+ ruch wokół bieguna 0₁

Przyspieszenie dowolnego punktu A

- wektor wodzący punktu A w układzie Oxyz.

- wektor wodzący punktu A w układzie O1z1y1z1

- wektor wodzący bieguna O₁ w układzie Oxyz.

Chwilowy ruch obrotowy ciała C₁ (Ruch wokół bieguna 0₁)

Wektor chwilowej prędkości kątowej ciała C₁

- jest wektorem zmieniającym swój

kierunek lecz zawsze leżącym na chwilowej osi obrotu.

Prędkość p-tu A ciała w jego chwilowym

ruchu obrotowym

Torem punktu A jest łuk okręgu o promieniu h.

h=rთsina

- wektor prędkości punktu A ciała sztywnego
w chwilowym ruchu obrotowym

Prędkość dowolnego punktu A

Przyspieszenie dowolnego punktu A

Przyspieszenie punktu A CS względem Oxyz:

Podstawiamy:

- wektor przyspieszenia kątowego, [rad/s²]

Gdzie:

- przysp. bieguna O₁ (początku układu O₁x₁y₁z₁)
względem Oxyz,

- przyspieszenie obrotowe,

- przyspieszenie doosiowe (dośrodkowe)

3) RUCH POSTEPOWY CS

Występuje wtedy, kiedy prosta łącząca dwa dowolne p-ty tego ciała przemieszcza się równolegle względem swego położenia początkowego w czasie ruchu.

AB||A₁B₁ r=const

Po zróżniczkowaniu:

W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała sztywnego mają takie same wektory prędkości i przyspieszenia i poruszają się po torach przystających.

Wnioski:

*Ruch postępowy CS jest określony jeżeli znamy ruch dowolnego punktu tego ciała.

Równania ruchu dowolnego punktu A ciała:

x_A=x_A(t), y_A=y_A(t), z_A=z_A(t)

*CS w ruchu postępowym ma 3 stopnie swobody.

4) RYCH OBROTOWY CS WZGL. STAŁEJ OSI

Występuje wtedy kiedy jedna prosta związana z tym ciałem jest nieruchoma.

Każdy punkt ciała sztywnego w ruchu obrotowym porusza się po okręgu, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu

Predkość i przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym

Wektor prędkości kątowej:

Wektor przyspieszenia kątowego:

Wartości prędkości i przyspieszenia:

Prędkość i przyspieszenie dowolnego punktu A

Wektor prędkości dowolnego punktu A

Wartość (moduł) wektora prędkości dowolnego punktu A:

Wektor przyspieszenia dowolnego punktu A

Wprowadzamy oznaczenia:

Wartość (moduł) wektora przyspieszenia punktu A:

Przyspieszenie styczne i dośrodkowe dowolnego punktu A

Wniosek:

a - nie zależy od wyboru punktu A

Ruch obrotowy jednostajny i jednostajnie zmienny CS

1. Ruch obrotowy jednostajny: w = const,

Równanie ruchu jednostajnego: ၪ(t) = w t + ၪ₀

2. Ruch obrotowy jednostajnie zmienny: e = const,

Równania ruchu jednostajnie zmiennego:

ၷ(t) = ၥ t + ၷ₀ , ၪ(t) = 0.5 e t² + w₀ t + ၪ₀

5) RUCH PŁASKI CS

Ruch, w którym wszystkie punkty

tego ciała poruszają się w nieruchomych płaszczyznach

równoległych do pewnej płaszczyzny ၰ_o - zwanej

płaszczyzną kierującą .

W ruchu płaskim wszystkie punkty CS leżące na prostej l

mają jednakowe prędkości i przyspieszenia oraz poruszają

się po identycznych torach.

Wniosek:

Ruch płaski CS można zastąpić ruchem figury płaskiej F,

pozostającej w czasie ruchu na płaszczyźnie ၰ.

Do opisu położenia tej figury wystarczy wybrać dwa dowolne

punkty A(x_A,y_A) i B(x_B,y_B) a więc 4 współrzędne kartezjańskie.

Liczba stopni swobody CS w ruchu płaskim.

Odległość między p-tami A i B jest dla CS stała, czyli

równanie więzów (wzór na odległość między A i B) ma

postać:

d² =(x_A² - x_B²) + (y_A² - y_B²) = const.

Liczba stopni swobody: k = 3;

k = 2n - a = 2 თ 2 - 1 = 3;

n =2 Ⴎ liczba punktów (A i B),

a =1 Ⴎ liczba równań więzów;

Równania ruchu płaskiego

Skoro ruch figury F jest opisany za pomocą dwóch dowolnych
punktów A i B sztywno z nią związanych, to ruch tej figury
zastąpimy odcinkiem AB.

Równania ruchu (k = 3):
x_A = x_A(t), y_A = y_A(t), ၪ = ၪ(t);

Prędkość i przyspieszenie kątowe w ruchu płaskim.

Prędkość dowolnego punktu A

Korzystamy ze wzoru wektorowego na prędkość dowolnego
p-tu CS w ruchu dowolnym

ၞ

Chwilowy środek obrotu figury płaskiej

To taki punkt C sztywno związany z figurą płaską F, którego prędkość w danej chwili czasu jest równa zeru.

*Wokół chwil. środka obrotu C ruch trwa nieskończenie krótko.

*Wraz z ruchem CS (figury F ) zmienia się położenie p-tu C. *Jeśli chwilowy środek obrotu C istnieje, to jego prędkość
w danej chwili czasu jest równa zeru: v_C = 0 !

chwilowy środek obrotu მ chwilowy środek prędkości

Wyznaczanie chwilowego środka obrotu

1) prowadzimy prostą p ၞ

2) obieramy C჎p tak aby

Stąd otrzymujemy:

Odległość chwilowego środka obrotu C჎p od bieguna A:

Zastosowania

Przyspieszenie punktu CS w ruchu płaskim

Korzystamy ze wzoru na przysp. punktu CS w ruchu dowolnym

Wzór na przyspieszenie dowolnego p-tu B figury F ma postać:

Oznaczenia wektorów składowych:

Wartości przyspieszeń składowych:

DYNAMIKA

RÓWNANIA RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO

1)PRAWA DYNAMIKI NEWTONA

I prawo (bezwładności):
Istnieje układ odniesienia, w którym punkt materialny porusza się bez przyspieszenia (tzn. jednostajnie i prostoliniowo) gdy z zewnątrz nic na niego nie działa.

Wniosek: Siła jest jedyną przyczyną zmiany ruchu punktu materialnego.

Układ inercjalny - układ odniesienia, w którym można
stwierdzić I prawo dynamiki.

Jeżeli oraz są w czasie ruchu stale równe zeru to układ 0x_iy_iz_i jest układem inercjalnym.

II prawo (podstawowe):

W inercjalnym układzie współrzędnych wektor siły
działającej na punkt materialny jest proporcjonalny
do wektora przyspieszenia.

m-masa bezwładna (jest równoważna masie grawitacyjnej)

Bezwładność - właściwość obiektu polegająca na przeciwstawianiu się zmianom ruchu tego obiektu.

Dynamiczne równania ruchu w postaci skalarnej mają postać: *W układzie inercjalnym Oxyz:

W układzie naturalnym (Freneta):

III prawo (akcji i reakcji):

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych są równe co do wartości, mają przeciwne zwroty i wspólną linię działania.

III prawo jest słuszne w układach inercjalnych i nieinercjal- nych ponieważ nie zawiera ono pojęć kinematycznych takich jak prędkość lub przyspieszenie.

Zgodnie z III prawem Newtona warunkiem powstania siły jest występowanie co najmniej dwóch ciał.

2) ZADANIE PROSTE I ODWROTNE DYNAMIKI

Zadanie proste:

Dane są równania ruchu np.: x=x(t), y=y(t), z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu)

Wyznaczamy współrzędne siły: F_x, F_y, F_z
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu)

Zadanie odwrotne:

Dane są siły (współrzędne siły): F_x, F_y, F_z
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu);

oraz warunki początkowe ruchu (dla t=0).

Wyznaczamy równania ruchu: x=x(t), y=y(t), z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu).

3)RÓWNANIA RUCHU PUNKTU MAT. W UKŁ. NIEINERCJALNYM

Wprowadzamy:

• stały układ odniesienia Oxyz,

• nieinercjalny układ odniesienia O₁x₁y₁z₁,
  dla którego w Ⴙ 0 i a₀₁ Ⴙ 0;

Na punkt A o masie m działa siła F.

Równanie ruchu p-tu A w układzie stałym (inercjalnym):

Wektorowe równanie ruchu p-tu A w układzie
nieinercjalnym 0₁x₁y₁z₁:

lub

Wprowadzono oznaczenia:

- nazywamy siłami fikcyjnymi (pozornymi),
ponieważ nie są one wynikiem oddziaływań
z innymi obiektami w takim znaczeniu jak siły F.

4)SIŁA BEZWŁADNOŚCI I ZASADA D'Alamberta

Siła bezwładności

Z II prawa dynamiki Newtona:

Jeżeli wektor -m·a potraktujemy jako pomyślaną siłę, to równanie powyżej możemy rozpatrywać jako warunek równowagi siły F działającej na punkt materialny i siły -m·a

B = -m·a - siła bezwładności (tzw. siła fikcyjna);

II prawo dynamiki można przedstawić jako równanie
równowagi wypadkowej sił rzeczywistych F i siły
bezwładności B w czasie ruchu punktu.

F - wypadkowa sił rzeczywistych (akcji i reakcji),

B - siła bezwładności;

Zasada d'Alamberta

Jeżeli w inercjalnym układzie współrzędnych do wszystkich sił rzeczywistych F₁, F₂,..., F_n dołączymy

siły bezwładności B₁, B₂,..., B_n to otrzymany układ sił

spełnia formalnie statyczne warunki równowagi.

lub

Wypadkowa sił rzeczywistych działających na punkt materialny równoważy się w każdej chwili z siłą bezwładności tego punktu.

ZASADY ZMIENNOŚCI W DYNAMICE PUNKTU MATERIALNEGO

1)Pęd punktu materialnego(ilość ruchu PM)

Moduł wektora pędu:

Jednostka pędu:

Związek wektora pędu PM z siłą działającą

na ten punkt i z II prawem dynamiki Newtona

Różniczkowa zasada zmiany wektora pędu:

Pochodna po czasie wektora pędu PM jest równa wektorowi siły działającej na ten punkt.

Różniczkową zasadę zmiany pędu możemy również przedstawić:

-impuls siły lub popęd (t₁ြt₂)

Całkowa zasada zmiany pędu:

Zmiana wektora pędu w skończonym przedziale czasu (t₂-t₁)

jest równa impulsowi wektora siły w tym przedziale.

W szczególności, jeśli F = 0:

Zasada zachowania pędu punktu materialnego:

Jeżeli wypadkowy wektor sił działających na PM
jest równy zeru to wektor pędu jest stały.

Uwaga: w praktyce może mieć miejsce sytuacja, np.:

wówczas

2)PRACA I MOC SILY, ENERGIA KIN. PM

1[N]თ1[m]=1[J]

Moc siły

Pracę wykonaną przez siłę w ciągu jednostki
czasu nazywamy mocą tej siły.Moc oznaczamy przez N

Energia kinetyczna i zasada równoważności pracy
i energii kinetycznej

Energia kinetyczna p.m.:

Zasada równoważności:

Zmiana energii kinetycznej PM w skończonym przedziale czasu jest równa sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Zasada zachowania energii mechanicznej PM

Zasada zachowania jest szczególnym przypadkiem zasady

równoważności pracy i energii kinetycznej PM

*Załóżmy, że w pewnym obszarze przestrzeni ၗ działa pole sił:

*Jeśli w każdym punkcie przestrzeni ၗ to takie pole nazywamy jednorodnym.

*Jeśli:

to takie pole nazywamy potencjalnym.

V=V(x,y,z) - jest potencjałem pola sił lub energią potencjalną PM

*Wtedy pracę L w potencjalnym polu sił przedstawimy:

Wniosek:

Praca w potencjalnym polu sił nie zależy od drogi lecz tylko od położenia początkowego i końcowego.

Zasada zachowania energii mechanicznej PM:

Po podstawieniu powyższego wzoru na pracę L do prawej strony wzoru wyrażającego zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej otrzymamy:

E_m = E + V -nazywamy energią mechaniczną

3)KRĘT(MOMENT PĘDU) PM

;

Zasada zmiany krętu p.m.:

Zasada zachowania krętu p.m.: Jeśli M = 0 dla tႳ0 to mamy

4)PODSTAWY TEORII MOMENTÓWBEZWŁADNOŚCI

Środek masy i środek ciężkości UPM i CS

Założenia:

*Weźmy pod uwagę układ n punktów materialnych o
masach m_i (i=1,...,n)

*Położenie tych punktów w stosunku do punktu
odniesienia O określone jest wektorami r_i

;

Punkt C nazywamy środkiem masy UPM.

Środek masy UPM w układzie Oxyz

Pojęcie środka masy ma charakter ogólny i może być zastosowane do dowolnego UPM, niezależnie od tego czy układ jest sztywny czy nie, czy jest w ruchu czy w spoczynku oraz czy znajduje się w polu sił.

Środek masy ciała sztywnego ciągłego

Gęstość CS ciągłego

Gęstość CS dowolnego:

Gęstość CS jednorodnego:

Gęstość CS dwuwymiarowego:

(powłoki, cienkie płyty)

Gęstość CS jednowymiarowego:

(pręty, liny, belki)

Środek ciężkości

Na obiekty znajdujące się w polu przyciągania Ziemi, działają siły ciążenia. Siły te zastępujemy wypadkową siłą ciężkości. Przy założeniu, że rozmiary obiektu są małe w porównaniu do rozmiarów Ziemi można siły ciężkości uznać za równoległe i wyznaczyć środek równoległych sił ciężkości. Punkt taki nazywamy środkiem ciężkości obiektu (UPM lub CS).

Środek ciężkości UPM:

Ciężar właściwy CS:

Środek masy CS jednorodnego

Wzory na środek masy CS upraszczają się gdy mamy do czynienia z ciałem jednorodnym tzn. takim, w którym masa jest rozłożona równomiernie w całej jego objętości.

Podsumowanie

*Ze wzorów na środek masy wynika, że jego
położenie w jednorodnym CS zależy tylko od
jego geometrii.

Ogólne własności jednorodnego CS:

* Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii to środek
masy leży na tej płaszczyźnie.

*Jeżeli ciało ma oś symetrii to środek masy leży na
tej osi.

*Jeżeli ciało ma środek symetrii to środek masy
leży w tym środku.

5)MOMENTY STATYCZNE

Momentem statycznym UPM względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas każdego punktu przez ich odległości od tej płaszczyzny.

Np. względem płaszczyzny 0xy:

Momenty statyczne a środek masy

Współrzędne środka masy można określić za pomocą momentów statycznych względem płaszczyzn układu Oxyz:

6)MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momenty bezwładności względem płaszczyzn Oxyz

Dla UPM:

Dla CS:

Momenty bezwładności względem osi 0xyz

Dla UPM:

Dla CS:

Moment bezwładności względem bieguna 0

Dla UPM:

Dla CS:

Ważne zależności

Momenty dewiacyjne (mieszane) w układzie Oxyz

Dla UPM:
Dla CS:

;

Macierz bezwładności (tensor bezwładności)

I =

I - opisuje własności bezwładnościowe CS lub UPM

Moment bezwładności względem dowolnej osi l

l - dowolna prosta przechodząca przez początek układu 0

Po przekształceniach moment bezwładności względem osi l wynosi:

Osie główne centralne i momenty bezwładności
względem nich

Lokując początek układu współrzędnych w środku masy ciała mamy centralny układ osi Cxyz.

Jeżeli tak zorientujemy w przestrzeni osie układu Cxyz, że
D_xy=D_xz=D_yz=0, to takie osie nazywamy głównymi centralnymi.
Układ takich osi oznaczamy: C123.

Momenty bezwładności względem osi głównych centralnych
oznaczamy odpowiednio: I₁, I₂, I₃ i nazywamy
głównymi centralnymi momentami bezwładności c.s.

Moment bezwładności względem dowolnej osi l, wyrażony
w układzie głównym centralnym C123 ma postać:

Momenty bezwładności względem osi równoległych

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności CS względem dowolnej osi l₁ jest równy sumie momentu bezwładności względem osi do niej równoległej l przechodzącej przez środek masy tego ciała oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

ZASADY ZMIENNOŚCI W DYNAMICE UPM i CS

1)Pęd układu punktów materialnych(pęd główny)

To jest sumowanie wektorów a więc sumowanie geometryczne

Zasada zmiany pędu głównego:

Suma wektorów sił wewnętrznych:

Zgodnie z III prawem dynamiki Newtona:

Fz - wektor główny sił zewnętrznych (wektor wypadkowy)

Różniczkowa zasada zmiany pędu głównego:

Pochodna po czasie wektora pędu głównego jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na UPM.

Podobnie jak dla pojedynczego punktu, można wyprowadzić

całkową zasadę pędu głównego.

Zasada ruchu środka masy UPM

Z równości momentu statycznego środka masy UPM i sumy

momentów statycznych wszystkich punktów tego układu:

M - całkowita masa u.p.m.

- wektor przyspieszenia środka masy UPM

Środek masy u.p.m. porusza się tak jak punkt o masie M pod

wpływem wszystkich sił zewnętrznych działających na ten układ.

2) Praca i energia kinetyczna UPM

C - środek masy u.p.m

;

Po przekształceniach otrzymujemy (twierdzenie Königa):

- energia kinetyczna środka masy u.p.m

E_w - energia kinetyczna u.p.m. w jego ruchu względem środka masy C

Twierdzenie Königa:

Energia kinetyczna u.p.m. jest równa sumie energii kinetycznej
jaką miałby p.m. o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy, oraz energii kinetycznej tegoż układu w jego ruchu względem środka masy.

3)Kręt główny (kręt UPM)

Zasada zmiany krętu głównego:

Z ostatniego równania wynikają następujące równania
na współrzędne wektora krętu w układzie Oxyz:

M_x, M_y, M_z - momenty sił zewnętrznych względem
odpowiednich osi współrzędnych

Jeśli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne to
M_x =M_y= M_z =0. Wówczas ma miejsce zasada zachowania
krętu:

4)Pęd ciała sztywnego

m - masa ciała sztywnego,

Vc - prędkość środka masy c.s.

Zasada zmiany pędu CS

- wektor wypadkowy sił zewnętrznych
działających na środek masy c.s.

Zasada zmiany pędu c.s.:
Pochodna względem czasu wektora pędu c.s. jest równa
wektorowi wypadkowemu sił zewnętrznych działającemu
na środek masy tego ciała.

5)Energia kinetyczna CS i praca

Energia kinetyczna CS w ruchu dowolnym

I_l=const w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu.

Energia kinetyczna CS w ruchu postępowym

Energia kinetyczna CS w ruchu obrotowym wokół stałej osi:

Energia kinetyczna CS w ruchu płaskim:

6)Kręt (moment pędu) ciała sztywnego

Współrzędne wektora krętu w układzie C123:

K₁ =I₁ၷ₁ ; K₂ =I₂ ၷ₂ ; K₃ =I₃ ၷ₃

Zasada zmiany wektora krętu CS

Kręt CS w ruchu obrotowym wokół stałej osi

Jeśli prosta z jest osią obrotu CS to jego kręt (współrzędna)
wynosi:

Zasada zmiany kretu

Jeśli M_z = 0 to otrzymujemy zasadę zachowania krętu CS:

6) Dynamiczne równania ruchu CS

Dynamiczne równania CS w ruchu dowolnym

- suma sił czynnych i reakcji działających na CS.

Dynamiczne równania CS w ruchu postępowym

Wniosek
Ruch postępowy ciała sztywnego jest równoważny
ruchowi punktu.

Ciało sztywne swobodne w ruchu postępowym ma k=3 stopnie swobody (tak jak punkt).

Dynamiczne równania ruchu obrotowego wokół stałej osi.

l - dowolna stała oś obrotu c.s

C.s. w ruchu obrotowym wokół stałej osi ma k=1 st. swobody

Z zasady zmiany krętu CS dla ruchu obrotowego wokół stałej
osi otrzymamy:

Stąd dynamiczne równanie ruchu obrotowego wokół dowolnej
stałej osi l :

Powyższe równanie nie zależy od sił reakcji w łożyskach lecz tylko od sił czynnych zewnętrznych.

Dwa przypadki wyrównoważenia

1. Wyrównoważenie dynamiczne: R_A=R_B=0, czyli kiedy oś
obrotu jest jedną z głównych centralnych osi bezwładności,
nazywamy ją wówczas osią swobodną.

2. Wyrównoważenie statyczne: x_c=y_c=0 ale D_xz Ⴙ 0 i D_yz Ⴙ 0,
oś obrotu jest wtedy osią centralną lecz nie główną.
Reakcje dynamiczne natomiast tworzą parę sił :

Wzory pomocnicze przy obliczaniu reakcji dynamicznych

---