1-3-zespolone, Barbasze IMiR mibm


Liczby zespolone

Definicja. Parę 0x01 graphic
nazywamy liczbą zespoloną, zaś 0x01 graphic
jednostką urojoną.

0x08 graphic
Zbiór 0x01 graphic
nazywamy zbiorem liczb zespolonych. Płaszczyznę z układem prostokątnych współrzędnych 0x01 graphic
nazywamy płaszczyzną zespoloną, jeśli każdy wektor o początku w (0,0) i końcu 0x01 graphic
reprezentuje liczbę zespoloną 0x01 graphic
.

Uwagi. Każdą liczbę zespoloną można zapisać w dwóch postaciach: 0x01 graphic
.

Definicja. Dane są liczby zespolone 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Wówczas 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
Jeśli 0x01 graphic
, to a nazywamy częścią rzeczywistą, b zaś częścią urojoną liczby zespolonej z, czyli 0x01 graphic
, modułem nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą 0x01 graphic
, zaś kąt 0x01 graphic
nazywamy argumentem liczby z: jest to kąt skierowany 0x01 graphic
jaki tworzy wektor reprezentujący liczbę z z osią OX.

Uwagi. Jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. Zbiór liczb rzeczywistych jest zatem częścią zbioru liczb zespolonych, tzn. każda liczba rzeczywista a jest liczbą zespoloną 0x01 graphic
ale oczywiście nie na odwrót. Liczby zespolone postaci 0x01 graphic
nazywają się liczbami urojonymi. Ponieważ liczby zespolone można traktować jako wielomiany, działania na liczbach zespolonych można traktować jak zwykłe działania na wielomianach: tak rozumiane działania pokrywają się z definicją wyżej (ZD).

Wszystkie wzory skróconego mnożenia dla liczb rzeczywistych, wzory na potęgowanie, wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego itd. pozostają słuszne dla liczb zespolonych.

Twierdzenie. Dla dowolnych liczb zespolonych 0x01 graphic
:

1. 0x01 graphic
(przemienność dodawania i mnożenia),

2. 0x01 graphic
,0x01 graphic
(łączność dodawania i mnożenia),

3. 0x01 graphic
(rozdzielność mnożenia względem dodawania).

Przykłady.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Definicja. Liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną 0x01 graphic
nazywamy liczbę 0x01 graphic

Uwagi. Liczby zespolone sprzężone są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie, symetryczne względem osi OX. Zauważmy, że liczby sprzężone mają następujące własności:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Przykłady.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Pierwiastek stopnia drugiego z liczby zespolonej

Definicja. 0x01 graphic
wtedy i tylko wtedy, gdy 0x01 graphic

Przykłady

1. Obliczamy 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, a zatem należy rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ 0x01 graphic
. Są dwa rozwiązania: (-2,-1) i (2,1). Zatem istnieją dwa szukane pierwiastki:0x01 graphic
.

2. Obliczyć 0x01 graphic
(ZD).

3. Obliczyć 0x01 graphic
(ZD).

Rozwiązywanie równań w liczbach zespolonych

Niech dane będzie równanie algebraiczne

(4.4) 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
.

Twierdzenie (Zasadnicze tw. Algebry). Równanie algebraiczne (4.4) ma w zbiorze C dokładnie n pierwiastków.

Definicja. Pierwiastniki równania algebraicznego 0x01 graphic
są to wzory na wszystkie pierwiastki tego rownania.

Twierdzenie. Nie istnieją pierwiastniki dla równań stopnia 0x01 graphic
.

Uwagi. Łatwo udowodnić (ZD), że jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
(jeśli z jest pierwiastkiem równania, to jego sprzężenie też jest). Analogiczne twierdzenie dla zbioru 0x01 graphic
nie jest prawdziwe: wiadomo wtedy tylko tyle, że wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych. Jak wiadomo istnieją pierwiastniki dla równań (4.4) stopnia 1., 2. (wzory Vieta), 3. (wzory Cardano) i 4. . Trójmian kwadratowy ma zawsze 2 pierwiastki: albo oba rzeczywiste albo oba zespolone i sprzężone ze sobą. Równanie 3. stopnia ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i może mieć: trzy pierwiastki rzeczywiste albo jeden rzeczywisty i dwa zespolone sprzężone.

4. Obliczając ze wzorów Vieta rozwiązania równania 0x01 graphic
, dostajemy 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Zauważmy, że powyższa metoda jest skuteczna tylko dla pierwiastków 2. stopnia. Przy np. obliczaniu pierwiastków 3. stopnia odpowiedni układ rownań będzie nieliniowy i 3. stopnia: będą trudności z jego rozwiązaniem.

5. Rozwiążemy równanie 0x01 graphic
.

Mamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic

6. Wielomian 0x01 graphic
rozkładamy na czynniki stopnia pierwszego:

0x01 graphic
.

Twierdzenie. Właściwości modułu:

1. 0x01 graphic

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic

Dowód.

1. 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic
.

3. Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. KD.

Interpretacja geometryczna sumy i różnicy liczb zespolonych

Z postaci wektorowej liczb zespolonych (rys. ??) widać, że ich dodawanie [odejmowanie] sprowadza się do dodawania [odejmowania] wektorów reprezentujących te liczby. Moduł różnicy liczb zespolonych 0x01 graphic
jest równy odległości między punktami 0x01 graphic
na płaszczyźnie zespolonej (rys. ??).

0x01 graphic
0x01 graphic

Przykłady.

1. Równanie 0x01 graphic
przedstawia zbiór wszystkich z, których odległość od początku układu współrzędnych wynosi 1. Jest to więc okrąg o środku w początku układu i promieniu równym 1. Istotnie: jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, a więc równanie 0x01 graphic
jest równoważne równaniu 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
.

2. Równanie 0x01 graphic
przedstawia okrąg o środku w punkcie i, mający promień 1. Równanie tego okręgu we współrzędnych prostokątnych ma postać 0x01 graphic
.

3. Równanie 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
są punktami stałymi, a z jest punktem zmiennym, przedstawia zbiór wszystkich punktów równoodległych od 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

4. Równanie 0x01 graphic
, gdzie a i c oznaczają stałe dodatnie, jest równaniem elipsy, bo z tego równania odczytujemy, że określono zbiór punktów, których suma odległości od dwóch stałych punktów c i -c i jest wielkością stałą (równą 2a).

5. Zbiór takich punktów z, że 0x01 graphic
, oznacza wnętrze i brzeg koła o promieniu r i środku w punkcie 0x01 graphic
.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

!!!!!!!!BRAK RYSUNKU

Niech 0x01 graphic
. Wówczas 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Definicja. Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, nazywamy jej postacią trygonometryczną.

Przykłady. Postać trygonometryczna liczby 0x01 graphic
.

Postać trygonometryczna liczby 0x01 graphic
.

Dane są dwie liczby zespolone 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Zatem 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Obliczamy iloczyn

0x01 graphic

A więc mamy 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Mnożenie liczb zespolonych sprowadza się więc do mnożenia ich modułów oraz dodawania ich argumentów:

(3.3) 0x01 graphic

Danych jest n liczb zespolonych

0x01 graphic

0x01 graphic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0x01 graphic

Uogólniając wzory (3.3) metodą indukcji matematycznej dostajemy

0x01 graphic
.

Twierdzenie. 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Jeżeli w szczególności 0x01 graphic
a więc 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic

Dla r = 1 mamy tzw. wzór Moivre'a:

Twierdzenie (Wzór Moivre'a). 0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Obliczamy:

0x01 graphic

2.Obliczyć 0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
więc

0x01 graphic

3. Zgodnie z wzorem Moivre'a 0x01 graphic

Po lewej stronie wykonujemy potęgowanie i otrzymujemy 0x01 graphic

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach równości dostajemy wzory wyrażające funkcje trygonometryczne kąta potrójnego przez funkcje kąta pojedynczego: 0x01 graphic

oraz wzór na 0x01 graphic
(ZD).

Niech0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Wówczas

0x01 graphic

Zatem prawdziwe jest następujące

Twierdzenie. 0x01 graphic

Pierwiastki dowolnego stopnia z liczb zespolonych

Definicja. Pierwiastkiem stopnia n z dowolnej liczby zespolonej z nazywamy taką liczbę u, że 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
.

Wyprowadzimy teraz wzory na takie pierwiastki. Wykorzystamy postać trygonometryczną liczby zespolonej. Niech

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Jeżeli

(1) 0x01 graphic
,

to z definicji pierwiastka stopnia n mamy 0x01 graphic

lub (na podstawie wzoru Moivre'a)

(2) 0x01 graphic

Ale dwie liczby zespolone, w postaci trygonometrycznej, są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe moduły, a różnica ich argumentów jest wielokrotnością 2π. Zatem równość (2) jest spełniona, gdy

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
dla 0x01 graphic

stąd 0x01 graphic
(jest to pierwiastek arytmetyczny) oraz 0x01 graphic
.

Podstawiając do (1), dostajemy

(3) 0x01 graphic
,

gdzie wystarczy przyjąć 0x01 graphic
, gdyż dla innych całkowitych wartości k otrzymujemy kąty różniące się o wielokrotność 2π od kątów wyznaczonych poprzednio dla 0x01 graphic
Zatem każda liczba zespolona ( w szczególności również liczba rzeczywista) ma dokładnie n różnych pierwiastków zespolonych stopnia n, które obliczamy według wzoru (3), podstawiając za k kolejno liczby 0x01 graphic
. Zauważmy, że pierwiastek po prawej stronie (3) jest zwykłym arytmetycznym pierwiastkiem rzeczywistym, zaś symbol 0x01 graphic
po zespolonym pierwiastku na lewej stronie (3) oznacza, że pierwiastek ten jest obliczony dla wartości k występujące po prawej stronie (3).

Przykłady.

1. Obliczyć 0x01 graphic
.

Mamy dla k = 0, 1, 2, 3:

0x01 graphic
,

a zatem

0x01 graphic
.

2. Jeżeli a jest liczbą rzeczywista dodatnią, to 0x01 graphic
, skąd:

0x01 graphic
.

(0x01 graphic
po prawej stronie wzoru jest pierwiastkiem arytmetycznym).

3. Obliczyć 0x01 graphic
.

Mamy 0x01 graphic
skąd 0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, więc

(4) 0x01 graphic

Oznaczmy kolejne wartości wyznaczone wzorem (4) przez 0x01 graphic
Wzór na pierwiastki stopnia n z 1 przyjmuje wtedy postać

(4') 0x01 graphic

Wynikają stąd następujące własności liczb 0x01 graphic
:

1.Ponieważ 0x01 graphic
, więc wszystkie liczby (4') reprezentują na płaszczyźnie Gaussa punkty leżące na okręgu jednostkowym albo też wektory wychodzące z punktu (0,0) i mające długość 1.

2. Dla k = 0 mamy 0x01 graphic
, a więc jednym z pierwiastków dowolnego stopnia z liczby 1 jest zawsze 1, tzn. punkt przecięcia wspomnianego okręgu z dodatnią częścią osi rzeczywistej.

3.Łatwo zauważyć, że 0x01 graphic
tzn., że argumentem liczby 0x01 graphic
jest k-krotność liczby 2π/n, czyli n-tej części kąta pełnego.

Liczby zk można więc znaleźć graficznie, dzieląc okrąg jednostkowy na n równych części, począwszy od punktu przecięcia tego okręgu z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Innymi słowy, liczby zk są wierzchołkami wielokąta foremnego o n bokach, wpisanego w okrąg jednostkowy, przy czym jednym z wierzchołków jest punkt 1.

8



Wyszukiwarka