6EKRAN_345

Lekcja 12 Złożone obwody prądu sinusoidalnego

Lekcja 12 rozpoczyna się od wyprowadzenia warunku dopasowania dla obwodów prądu sinusoidalnego. W dalszej części omówiono pojęcie cewek sprzężonych i wyprowadzono schematy zastępcze. Ostatni etap lekcji wprowadza słuchacza w problematykę obwodów trójfazowych.

6EKRAN_346

Dopasowanie energetyczne dla źródła prądu zmiennego- polega na dobraniu takiej impedancji Zo, przy której pobierana moc czynna będzie maksymalna.

Powyższy warunek przy założeniu, że Re(Zw)>0 jest spełniony gdy Zo=Zw^*

Komentarz-EKRAN_346

Zauważ, że prąd płynący w obwodzie można zapisać:

Stąd moc pobierana prze rezystancję impedancji wynosi:

Ponieważ reaktancja Xo występuje tylko w mianowniku więc można go minimalizować przyjmując, że Xo=-Xw. Wówczas funkcja mocy stanie się funkcją jednej zmiennej:

Ekstremum takiej funkcji poszukiwaliśmy już przy wyprowadzeniu warunku dopasowania dla źródła prądu stałego (Ro=Rw ekran 94). Stąd w tym przypadku warunkiem dopasowania dla obwodów sinusoidalnych jest: Zo=Zw^*

6EKRAN_347

Przy okazji warunku dopasowania postawmy problem: dla jakiego obciążenia prąd płynący ze źródła przyjmie największą wartość.

Wykorzystajmy wzór na prąd płynący ze źródła określony na ekranie (komentarz 346)

Minimalizując mianownik stwierdzamy, że prąd przyjmie największą wartość dla Ro=0 oraz Xo=-Xw.

Komentarz-EKRAN_347

Wynik ten jest zasadniczo różny od przypadku prądu stałego gdzie maksymalny prąd płynie w stanie zwarcia. W przypadku źródła prądu zmiennego jak widać najgorszy stan zajdzie w przypadku obciążenia źródła reaktancją przeciwnego charakteru w stosunku do reaktancji wewnętrznej źródła.

6EKRAN_348

Zagadnienie: Określ przy jakiej rezystancji Ro (Xo=0) będzie pobierana maksymalna moc czynna ze źródła rzeczywistego jeżeli impedancja wewnętrzna ma charakter czysto reaktancyjny (Zw=X).

Komentarz-EKRAN_348

Odpowiedź:

Funkcja mocy w rozpatrywanym przypadku od razu jest funkcją jednej zmiennej Ro

Obliczając pochodną tej funkcji i przyrównując do zera otrzymamy warunek Ro=Xw

6EKRAN_349

Cewki sprzężone

Zaciski jednoimienne

Dwa zaciski należące do dwóch różnych cewek sprzężonych magnetycznie nazywamy zaciskami jednoimiennymi i oznaczamy jednakowymi wskaźnikami, jeśli przy jednakowym zwrocie prądów względem tych zacisków, strumienie magnetyczne indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce mają jednakowe zwroty (dodają się).

Komentarz-EKRAN_349

Dzięki wyróżnieniu zacisków jednoimiennych możemy układ cewek sprzężonych rysować w postaci schematu płaskiego z zaznaczonymi zaciskami (np. gwiazdek). Stosując powyższą zasadę wyznaczania zacisków w rozpatrywanym przypadku jednoimienne zaciski będą po tej samej stronie (rys. obok).

6EKRAN_350

Rysunek z ekranu 349 przedstawia usytuowanie dwóch cewek. Cewka pierwsza ma Z₁ zwojów, cewka druga ma Z₂ zwojów. Przez cewkę pierwszą przepływa prąd, który oznaczymy przez I₁.

Strumień magnetyczny wytworzony przez prąd I₁ oznaczymy przez Φ₁₁. Jeżeli strumień ten obejmuje całkowicie cewkę pierwszą, to nazywamy go strumieniem skojarzonym z cewką pierwszą:

Ψ₁₁=Z₁Φ₁₁

Część strumienia Φ₁₁ obejmuje znajdującą się w sąsiedztwie cewkę drugą. Strumień magnetyczny wytworzony w cewce pierwszej i obejmujący cewkę drugą nazywamy strumieniem głównym i oznaczamy przez Φ_g1.

Komentarz-EKRAN_350

Pozostałą część strumienia Φ₁₁, która nie dochodzi do cewki drugiej nazywamy strumieniem rozproszenia i oznaczamy przez Φ_s1.

Można więc napisać, że strumień magnetyczny wytworzony w cewce pierwszej:

6EKRAN_351

Ponieważ cewkę drugą przenika tylko strumień główny, zatem strumień skojarzony z cewką drugą:

Ψ₁₂ = Z₂Φ_g1

Stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z cewką drugą, do prądu płynącego w cewce pierwszej nazywamy indukcyjnością wzajemną cewki pierwszej z drugą i oznaczamy przez M₁₂ ,

czyli:

W powyższym przypadku, w rozwartym obwodzie cewki drugiej indukuje się siła elektromotoryczna (zwana napięciem indukcji wzajemnej), która dla lewostronnego zastrzałkowania ma postać:

Komentarz-EKRAN_351

Przypomnij sobie, że: indukcyjność własna cewki była definiowana jako:

Jeżeli natomiast założymy, że cewki znajdują się w tym samym położeniu, ale prąd płynie w cewce drugiej, a nie płynie w cewce pierwszej (I₁ = 0), to przez analogię do powyższych wzorów, możemy napisać:

W tym przypadku, w rozwartym obwodzie pierwszym indukuje się siła elektromotoryczna, która dla lewostronnego zastrzałkowania ma postać:

Jeżeli cewki znajdują się w środowisku o takiej samej przenikalności magnetycznej μ , to:

M₁₂ = M₂₁ = M

6EKRAN_352

Założymy, że cewki znajdują się w tym samym położeniu, ale prąd płynie w cewce pierwszej i drugiej jak obrazuje to poniższy rysunek:

Siły elektromotoryczne wzniecane w obwodach pierwszym i drugim wynoszą:

Komentarz-EKRAN_352

Jeżeli,
, to w metodzie symbolicznej mamy
. To znaczy, że równania w metodzie symbolicznej będą miały postać:

E_I=I₁jL₁+I₂jM E_II=I₂jL₂+I₁jM

6EKRAN_353

Analizę obwodów elektrycznych można uprościć, jeżeli część obwodu zawierającego sprzężenie magnetyczne zastąpimy układem równoważnym bez sprzężeń magnetycznych.

1. W przypadku gdy dwa elementy sprzężone magnetycznie mają jednakowo usytuowane zaciski jednoimienne względem węzła trójnik ze sprzężeniami można zastąpić następującym trójnikiem bez sprzężeń.

Komentarz-EKRAN_354

Dla powyższego układu można napisać równania

Podstawiając I₂=I₃ - I₁ i I₁=I₃ - I₂ otrzymujemy:

Równość napięć U₁₃ iU₂₃ w obu trójnikach dowodzi ich równoważności

6EKRAN_355

2. 
   W przypadku gdy dwa elementy sprzężone magnetycznie mają przeciwnie usytuowane zaciski jednoimienne względem węzła schemat zastępczy ma postać:

Komentarz-EKRAN_355

Dla powyższego układu można napisać równania

Podstawiając I₂=I₃ - I₁ i I₁=I₃ - I₂ otrzymujemy:

6EKRAN_356

Schemat zastępczy dla cewek nie połączonych galwanicznie

Komentarz-EKRAN_356

Pomimo braku połączenia galwanicznego, układowi cewek sprzężonych odpowiada dwuoczkowy schemat bez sprzężeń. Transfigurację powyższego układu cewek sprzężonych można przeprowadzić, pamiętając, że połączenie obu obwodów jednym przewodem (patrz rys. poniżej) nie zmieni rozpływu prądu w układzie (pod warunkiem że jest on odseparowany od innych układów).

6EKRAN_357

Schemat zastępczy dla cewek nie połączonych galwanicznie (zaciski po przeciwnej stronie)

Komentarz-EKRAN_357

Analogicznie jak dla ekranu 356 określa się schemat zastępczy bez sprzężeń, w przypadku gdy zaciski jednoimienne znajdują się po przeciwnych stronach. Zwróć uwagę że reaktancja wzajemna została określona z minusem (jak dla kondensatora) a mimo to zwyczajowo rysujemy dla niej symbol cewki. W zapisie symbolicznym oznacza to, że reaktancja tej gałęzi w zapisie symbolicznym będzie miała postać: -jM.

6EKRAN_358

Współczynnik sprzężenia- określa jaka część strumienia wytwarzanego przez jedną z cewek dociera do drugiej.

Można udowodnić następującą zależność pomiędzy indukcyjnością wzajemną i indukcyjnościami własnymi cewek sprzężonych:

Jeżeli X1=L1 i X2=L2 to

Komentarz-EKRAN_358

Wzór na reaktancję X_M otrzymamy mnożąc obustronnie wzór
prze pulsację  Pamiętaj, że współczynnik k może przyjmować wartości od 0 do 1. Dla k=1 mówimy, że jest idealne sprzężenie. Dla k=0 mówimy o braku sprzężenia.

6EKRAN_359

Przykłady zadań z cewkami sprzężonymi

Przykład 1

W układzie jak na rysunku obliczyć wartości skuteczne prądów, moc pobieraną przez układ i współczynnik mocy układu.

Dane:

Komentarz-EKRAN_359

Aby rozwiązać to zadanie zastosujemy schemat zastępczy obwodu bez sprzężeń.

6EKRAN_360

Na podstawie schematu układamy równania:

Komentarz-EKRAN_360

Rozwiązując układ równań np. metodą podstawienia otrzymamy prądy w postaci algebraicznej:

Lub zamieniając na postać wykładniczą:

6EKRAN_361

Wartości skuteczne prądów wynoszą:

Moc pobieraną przez układ obliczmy ze wzoru:

gdzie

Po podstawieniu:

Komentarz-EKRAN_361

Pamiętaj o sprzężeniu prądu we wzorze na moc symboliczną S

6EKRAN_362

W celu obliczenia
obliczamy kąt
z zależności:

Stąd

Odpowiedź: Szukane prądy mają wartość I₁=6.41A I₂=2A a moc pobierana P=1311W, Q=516 var, oraz współczynnik mocy

6EKRAN_372

UKŁADY TRÓJFAZOWE

Układ wielofazowy to zbiór obwodów elektrycznych, w których działają napięcia źródłowe sinusoidalne o jednakowej częstotliwości, przesunięte względem siebie w fazie.

Poszczególne obwody układu wielofazowego nazywamy obwodami fazowymi lub fazami.

Układ trójfazowy skojarzony

Komentarz-EKRAN_372

Jeżeli fazy układu wielofazowego nie są połączone galwanicznie (niezależne obwody), to taki układ wielofazowy nazywamy nieskojarzonym. W przeciwnym przypadku układ jest skojarzony.

6EKRAN_373

Najbardziej powszechnymi układami wielofazowymi są układy trójfazowe w tym trójfazowe o symetrycznym zasilaniu.

Układ trójfazowy ma symetryczne zasilanie jeżeli napięcia źródłowe w każdej fazie mają:
równe wartości skuteczne i są przesunięte względem siebie o kąt (elektryczny )równy:120⁰

Wyróżniamy trzy przypadki układów zasilania:

Komentarz-EKRAN_373

Układ zasilania przeciwny w praktyce otrzymujemy zamieniając miejscami dwie dowolne fazy w układzie zgodnym.

6EKRAN_374

Układ symetryczny zgodny

Komentarz-EKRAN_374

Łatwo mógłbyś sprawdzić zamieniając zespolone siły elektromotoryczne (układu symetrycznego) na postać algebraiczną, że ich suma jest równa zero.

6EKRAN_375

Przebiegi trzech napięć trójfazowego układu symetrycznego.

Komentarz-EKRAN_375

Układ trójfazowy nazywamy symetrycznym jeżeli zarówno zasilanie jak i odbiór są symetryczne. Odbiór symetryczny to odbiór mający w każdej fazie jednakową impedancję zespoloną:

Układ trójfazowy

symetryczny niesymetryczny

• układ symetryczny napięć układ symetryczny napięć

• identyczna impedancja nieidentyczna impedancja

obciążenia każdej fazy obciążenia każdej fazy

6EKRAN_376

Układy trójfazowe

trójkąt-gwiazda

Komentarz-EKRAN_376

Możemy wyróżnić następujące układy połączeń zasilania i odbioru -gwiazda-gwiazda trójprzewodowy, czteroprzewodowy, trójkąt- trójkąt, trójkąt-gwiazda, gwiazda-trójkąt.

gwiazda-trójkąt

6EKRAN_377

Układy trójfazowe

trójkąt-trójkąt

Komentarz-EKRAN_377

Napięcie mierzone pomiędzy dwoma przewodami fazowymi nazywamy napięciem międzyfazowym (E_AB, E_BC, E_CA, U_AB, U_BC, U_CA). Z kole prądy płynące w przewodach doprowadzających nazywamy prądami przewodowymi I_A, I_B, I_C, prądy płynące przez fazy odbiornika fazowymi. Zwróć uwagę, że w przypadku połączenia odbioru w gwiazdę prądy przewodowe są jednocześnie prądami fazowymi.

6EKRAN_378

Komentarz-EKRAN_378

Zauważ, że napięcie międzyfazowe jest
razy większe od fazowego i przesunięte o kąt 30⁰

6EKRAN_379

Obliczanie układów trójfazowych symetrycznych

W układzie trójfazowym symetrycznym gwiazdowym impedancja przewodu zerowego nie ma wpływu na rozpływ prądów i napięć

Komentarz-EKRAN_379

W celu wyprowadzenia wzoru na potencjał środka gwiazdy odbioru należy skorzystać z metody potencjałów węzłowych. Załóżmy przy tym, że potencjał środka gwiazdy zasilania wynosi U_N=0. Sformułujmy równania Kirchhoffa dla poszczególnych oczek:

stąd

Analogicznie otrzymamy wzory:
oraz

osobno można wyznaczyć wzór na prąd

Wstawiając następnie te wzory do I prawa Kirchhoffa:
po uporządkowaniu otrzymamy wzór na potencjał U`_N:

Jeżeli wszystkie admitancje (impedancje) są jednakowe to otrzymamy wzór, z którego wynika, że U`_N=0

6EKRAN_380

Wykres wskazowy i prądy w układzie symetrycznym

Komentarz-EKRAN_380

Zauważ, że w przypadku układu symetrycznego prąd obliczamy ze wzoru
Oznacza to, że wystarczy rozwiązać obwód dla jednej fazy gdyż wszystkie wielkości w tym prądy są takie same co do wartości, a jedynie przesunięte o 120⁰

6EKRAN_381

Pomiar mocy w układzie Arona

Układ Arona jest powszechnie stosowanym układem do pomiaru mocy czynnej w obwodzie trójfazowym trójprzewodowym zarówno dla symetrycznego jak i niesymetrycznego odbioru, a moc czynna pobierana przez odbiór jest równa sumie wskazań watomierzy:

P=P1+P2

Komentarz-EKRAN_381

Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc ze wzoru na całkowita moc symboliczną:

Ponieważ w trójprzewodowym układzie mamy:

Stąd:

= UacIa(cos(_w1)-jsin(_w1))+ UbcIb(cos(_w2)-jsin(_w2))+

Ponieważ
stąd P=P₁+P₂= UacIa(cos(_w1)+UbcIb(cos(_w2)

Pamiętaj, że watomierz wskazuje iloczyn napięcia (na cewce napięciowej watomierza) prądu ( płynącego przez cewkę prądową) zastrzałkowanych jednakowo względem oznaczonych (np. gwiazdką ) początków, oraz kosinusa kąta pomiędzy powyższym napięciem i prądem.

Złożone obwody trójfazowe

Przedstawiony powyżej algorytm rozwiązania ma uniwersalne zastosowania, gdyż może pozwolić na analizę obwodu zarówno symetrycznego, jak i niesymetrycznego. Złożone obwody trójfazowe tak jak poniżej można sprowadzić ( stosując kombinację transfiguracji trójkąt-gwiazda) do obwodu jak z ekranu 382. Wówczas do rozwiązania można zastosować wyprowadzony wzór na U`_N

6EKRAN_390

Podsumowanie

Lekcja 12 zawiera trzy ogólne zagadnienia:

dopasowanie energetyczne, cewki sprzężone oraz obwody trójfazowe.

W przypadku dopasowania należy zapamiętać, że wyprowadzony warunek zakłada różną od zera rezystancję wewnętrzną źródła.

W przypadku analiz obwodów z cewkami sprzężonymi można formułować równania pamiętając, o dwóch rodzajach napięć jakie mogą na cewce wystąpić: napięcie indukcyjności własnej oraz wzajemnej. Jednak najwygodniejszym sposobem analizy jest zastosowanie schematów zastępczych.

Obwody trójfazowe są złożonymi obwodami prądu zmiennego, i można je analizować stosując wszystkie poznane metody. Ze względu jednak na powszechność trójfazowych układów o zasilaniu symetrycznym, a czasem i symetrycznym odbiorniku, warto zapamiętać, że napięcie zasilania dla trójfazowego odbiornika podaje się zawsze jako międzyfazowe i jest ono jednocześnie
razy od napięcia fazowego, oraz, że w przypadku całkowitej symetrii wystarczy przeprowadzić analizę jednej fazy.

1

I

2

I

11



1

g



1

Z

2

Z

22



2

g



'

1

e

'

2

e

1

e

2

e

U₂

*

*

U₁

E_B

I_C

I_B

ϕ

I_A

E_BC

E_AB

E_CA

E_C

E_A

30°

Z_N

N^'

N

I_N

U_BC

U_CA

U_AB

U_C

U_B

U_A

I_C

I_B

I_A

Z

Z

Z

E_C

E_B

E_A

U_CA

I_CA

I_BC

I_AB

U_BC

U_AB

I_B

Z_CA

Z_BC

Z_AB

I_C

I_A

E_CA

E_BC

E_AB

I_CA

I_BC

I_AB

U_CA

U_BC

U_AB

I_C

I_B

I_A

Z_CA

Z_BC

Z_AB

E_C

E_B

E_A

U_BC

U_CA

U_AB

U_C

U_B

U_A

I_C

I_B

I_A

Z_C

Z_B

Z_A

E

I₂

I₁

E_CA

E_BC

E_AB

U₂

X_M

X₂

X₁

Zo

Zw

E

Układ zerowy

Układ przeciwny

Układ zgodny

E_B

E_C

E_A

ω

E_B

E_C

E_A

ω

E_C

E_B

E_A

I_C

I_B

I_A

Z_C

Z_B

Z_A

E_C

E_B

E_A

*

*

U₁

U₂

X_M

X₂

X₁

I₁

I₂

U₁

U₂

*

*

U₁

I=0

U₂

*

*

U₁

U₂

I₁

I₂

U₁

X₁ +X_M

X₁ +X_M

-X_M

E_A

E_B

E_C

I_A

I_B

I_C

U_AB

U_CA

U_BC

N

Z_E

Z_E

Z_E

A

Z_AB1

Z_BC1

Z_CA1

B

C

I_AB1

I_BC1

I_CA1

U_EA

Z_BC2

Z_AB2

Z_CA2

I_AB2

I_BC2

I_CA2

---