1a. Ciśnienie hydrostatyczne - ciśnienie, jakie panuje na pewnej głębokości w cieczy niebędącej w ruchu, która znajduje się w polu grawitacyjnym.. Jednostką ciśnienia hydrostatycznego jest (w układzie SI) paskl (Pa). Ciśnienie to oblicza się ze wzoru

gdzie

ρ - gęstość cieczy

g - przyspieszenie ziemskie

h - głębokość zanurzenia w cieczy (od poziomu zerowego)

1b. Parcie hydrostatyczne (parcie, napór)

Siła nacisku jaką płyn wywiera na daną powierzchnię. Siła ta jest normalna do danej powierzchni. Dla powierzchni płaskich i stałego ciśnienia w każdym punkcie powierzchni, wzór na parcie upraszcza się do postaci

Płyn w stanie spoczynku wywiera napór hydrostatyczny zarówno na dno jak i ścianę naczynia. Parcie na ścianę poziomą można zapisać

gdzie

N - parcie (napór) hydrostatyczne,

ρ - gęstość cieczy,

h - wysokość słupa cieczy;

S - powierzchnia ściany

1c. Ruch jednostajny i zmienny. Ruchem jednostajnym nazywamy taki ruch, przy którym wszystkie poprzeczne przekroje strumienia są jednakowe, a w odpowiadających sobie punktach dowolnych przekrojów panują jednakowe prędkość

2. Czym są powierzchnie jednakowego ciśnienia i jakie są ich własności

Powierzchnie jednakowego ciśnienia i ich własności. Geometryczne miejsce punktów, w których panują jednakowe ciśnienia

Właściwości:

- p =const

- nie mogą wzajemnie przecinać się i każda z nich jest albo powierzchnią zamkniętą, albo kończy się na ścianie naczynia.

- że wektory jednostkowych sił masowych w punktach leżących na powierzchni jednakowego ciśnienia są normalne (prostopadłe) do tej powierzchni

3. Podaj sens fizyczny prawa Pascala

Podstawowe prawo statyki płynów, które mówi, że w każdym miejscu w płynie (cieczy lub gazie) różnica ciśnienia całkowitego oraz ciśnienia hydrostatycznego (wywieranego przez własny ciężar płynu) jest taka sama.

gdzie ρ (ro) to gęstość płynu, g - przyspieszenie ziemskie, a h1, h2 to wysokości. Intuicyjna interpretacja tej prawidłowości to: ciśnienie na danej głębokości wywołuje ciężar słupa płynu o jednostkowym przekroju, który jest nad danym punktem

4. Ruch ustalony i nieustalony- przypadku, gdy elementy ruchu w poszczególnych punktach przestrzeni zależą tylko od położenia punktu w przestrzeni, nie zmieniają się natomiast w czasie, ruch będziemy nazywali ustalonym lub trwałym. W przeciwnym przypadku, to znaczy gdy elementy ruchu są funkcjami zarówno położenia, jak i czasu, ruch nazywamy nieustalonym lub nietrwałym.

Torem cząstki cieczy nazywamy linię, którą zakreśla w przestrzeni poruszająca się cząstka cieczy.

Linia prądu. Linią prądu nazywamy linię przeprowadzoną w polu prędkości odpowiadającemu pewnej chwili tak, że wektory prędkości odpowiadające wszystkim punktom leżącym na linii są do niej styczne

Smuga jest to geometryczne miejsce punktów, w których w danej chwili znajdują się cząstki cieczy, które przeszły przez określony punkt przestrzeni. Obraz smugi otrzymamy np. przy wypuszczaniu przez mały otwór dymu lub barwnika

Struga. Jeżeli wyodrębnimy nieskończenie małe poletko dA i przeprowadzimy przez punkty tego poletka linie prądu, to taki pęk linii prądu nazywamy strugą

Strumień. Jeżeli przy określaniu strugi zastrzegliśmy, że wyodrębnione poletko jest nieskończenie małe, to biorąc pod uwagę dowolne pole A o wymiarach skończonych i rozpatrując wszystkie strugi przechodzące przez to pole otrzymamy strumień.

Przekrojem poprzecznym strugi lub strumienia nazywamy powierzchnię przeprowadzoną ortogonalnie do linii prądu stanowiących strugę lub strumień

W przypadku strugi, ze względu na jej nieskończenie małe wymiary poprzeczne, każdy przekrój poprzeczny możemy traktować jako płaski. W przypadku strumienia, ogólnie biorąc, przekroje poprzeczne przedstawiają się w postaci powierzchni krzywych

Natężenie przepływu, wydatek strumienia (strugi) albo przepływ. Objętość cieczy, która przepływa przez jakiś przekrój strumienia (strugi) w jednostce czasu, nazywamy natężeniem przepływu, wydatkiem strumienia (strugi) lub przepływem. Prze¬pływ zazwyczaj oznaczamy literą Q i wyrażamy w
lub
.

6. Wyjaśnij pojęcia przemieszczenia i prędkości i przyspieszenia w zapisie Lagrange'a i Eulera.

Gdy współrzędne punktu ośrodka w chwili t wyrażone są przy pomocy jego położenia w chwili początkowej (opis Lagrange'a) tzn. to jego prędkość wyraża się wzorem:

a przyspieszenie

z całego mnóstwa cząstek cieczy wypełniających przestrzeń lub pewien obszar przestrzeni obieramy jedną i badamy co się z nią dzieje,

W przypadku opisu Eulera wykorzystując związek prędkość punktu wyraża się wzorem:

i przyspieszeni

- Polega on na obserwowaniu co się dzieje w określonym obranym dla obserwacji punkcie przestrzeni

5. Równanie ruchu cieczy nielepkiej w kartezjańskim układzie odniesienia w zapisie Eulera

Przyjmując założenie cieczy nielepkiej, tym samym zakładamy, że parcia działające na dowolny element powierzchni są normalne do tego elementu, brak jest bowiem naprężeń stycznych.

6. Wyjaśnij pojęcie całki Bernouliego

E' jest stałe dla danej linii prądu

całkę Bernoulliego otrzymaliśmy z podstawowego równania przy następujących założeniach:

1. ruch jest trwały;

2. siły masowe mają potencjał;

3. ciecz jest barotropowa;

4. całkowanie odbywa się wzdłuż linii prądu (to znaczy, że stała całkowania E' dla różnych linii prądu może być różna).

Aby przejść do równania Bernoulliego w postaci przyjmujemy dodatkowo następujące założenia:

1. na ciecz nie działają inne siły masowe prócz siły ciążenia;

2. możemy przyjąć g = const i równoległość sił ciążenia;

3. ciecz jest nieściśliwa (p = const.)

7. Wyjaśnij sens fizyczny równania Bernouliego

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Równanie wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych. Równanie Bernoulliego nie uwzględnia tarcia wewnętrznego w płynie przejawiającego się w postaci lepkości, a tym samym nie odzwierciedla poprawnie zasady zachowania energii,. Dlatego też równanie Bernoulliego stosować można jedynie w sytuacjach, w których efekty związane z lepkością płynu nie odgrywają istotnej roli. W przeciwnym przypadku bezpośrednie stosowanie równania Bernoulliego prowadzi do paradoksów lub wyników w drastyczny sposób sprzecznych z doświadczeniem.

8. Prawo tarcia lepkiego Newtona.

Hydrodynamiczne prawo Newtona stanowi podstawę mechaniki płynów newtonowskich, zwanych też, niezbyt precyzyjnie, płynami rzeczywistymi. Wiąże ono naprężenie w płynie z szybkością ścinania. Wprowadza pojęcie tarcia wewnętrznego między poruszającymi się względem siebie sąsiadującymi warstwami płynu. Miarą wielkości tego tarcia jest lepkość płynu, traktowana jako fizykalna cecha charakterystyczna dla danego rodzaju płynu. Hydrodynamiczne prawo Newtona wprowadza zatem pojęcie lepkości płynu. Pojęcia tego nie można zdefiniować w oderwaniu od hydrodynamicznego prawa Newtona. Hydrodynamiczne prawo Newtona nie funkcjonuje w odniesieniu do płynów idealnych stanowiących abstrakcję umysłową. Hydrodynamiczne prawo Newtona nie stosuje się do tzw. płynów nieliniowych, zwanych też płynami nienewtonowskimi.

9.Omów doświadczenia Reynoldsa w odniesieniu do ruchu laminarnego i burzliwego oraz podaj wzór na liczbę Reynoldsa.

Liczbę Reynoldsa stosuje się powszechnie jako kryterium pozwalające na oszacowanie stateczności ruchu płynu. Nie jest to z pewnością kryterium doskonałe, nie udało się go jak dotąd zastąpić żadnym innym, bardziej precyzyjnym kryterium. W praktyce wielkość liczby Reynoldsa pozwala na określenie kiedy ruch płynu jest laminarny, a kiedy może pojawić się turbulencja. Dla każdego rodzaju przepływu istnieje krytyczna liczba Reynoldsa Re_cr, poniżej której przepływ turbulentny nie jest obserwowany. Jeśli ruch turbulentny zostanie wywołany w sposób sztuczny, a następnie pozostawiony 'samemu sobie', wówczas będzie on wygasał w czasie w sposób asymptotyczny. Jeśli natomiast wartość Re_cr jest przekroczona, wówczas oscylacje turbulentne ulegać będą stopniowemu wzmacnianiu, co doprowadzi wkrótce do zerwania przepływu laminarnego. Przekroczenie krytycznej wartości Re nie stanowi natomiast gwarancji wystąpienia turbulencji. Ruch płynu określić można wówczas jako 'metastabilny'. Jeśli będzie się usilnie unikać powstawania wszelkich zaburzeń, wówczas przepływ pozostanie laminarny nawet po kilkakrotnym przekroczeniu krytycznego Re. Natomiast najmniejsze nawet zaburzenie doprowadzi wówczas do gwałtownego zerwania ruchu laminarnego i przepływ nie powróci już do postaci statecznej. Należy zaznaczyć, że nie istnieje jedna, uniwersalna wartość krytycznej liczby Reynoldsa i jest ona odmienna w zależności od rodzaju realizowanego przepływu. Musi być zatem wyznaczana na drodze empirycznej. Równania ruchu w przypadku przepływu laminarnego i burzliwego. bezwymiarowe przedstawienie równań ruchu cieczy nieściśliwej, czyli równań Naviera-Stokesa prowadzi do wniosku, że charakter ruchu płynu jest określony przez wartość tylko jednej liczby. Liczby Reynoldsa.

Przyjmujemy ze wartość graniczna to Re_gr =2320.

gdzie:

l - wymiar charakterystyczny (np. dla przepływu przez rurę będzie to jej średnica),

v - prędkość charakterystyczna płynu,

ν - lepkość kinematyczna

Z doświadczenia wiadomo, że dla małych wartości Re ruch płynu jest laminarny, zaś dla dużych wartości traci stabilność i przechodzi w przepływ turbulentny

10. Sens fizyczny współczynnika Saint Venanta dla przypadku przekroju kołowego.

Po zapoznaniu się z rozkładami prędkości w przekrojach poprzecznych możemy rozpatrzyć wartości współczynnika Saint-Venanta (Coriolisa) wprowadzony do równania Bernoulliego . Dokładnie poznaliśmy rozkłady prędkości w przypadku ruchu laminarnego w rurze o przekroju kołowym oraz w szerokim prostokątnym korycie, dla tych dwóch przypadków możemy obliczyć wartość .Przy ruchu laminarnym w przekroju kołowym rozkład prędkości wyraża wzór , a mianowicie:

średnia zaś prędkość

Możemy zatem wyrazić rozkład prędkości w zależności od prędkości średniej

Współczynnik Saint Venanta (Coriolisa) określony jest wzorem:

11. Wzór Chezy i sens fizyczny wielkości występujących w tym wzorze i od czego te wielkości zależą.

Jest to wzór znany pod nazwą wzoru Chezy. Wzór ten ustalił Chezy doświadczalnie, przy czym opierając się na szczupłym zakresie doświadczeń traktował początkowo współczynnik c jako-stały, równy
. Późniejsze doświadczenia wykazały, że współczynnik Chezy zależy od szorstkości ścianek przewodu i od promienia hydraulicznego. Niektórzy badacze uzależniają go również od spadku. Przekształcając wzór Chezy możemy określić wartość spadku linii ciśnień, mianowicie:

Znając I łatwo jest wyznaczyć straty na długości przewodu, bowiem przy rozpatrywanym przypadku ruchu jednostajnego spadek linii ciśnień jest stały na całej długości przewodu L, a linia energii jest równoległa do linii ciśnień. Zatem stratę wysokości energii na długości L otrzymamy w postaci

Ze względu na to, że w równaniu Bernoulliego obok wyrazu
występują wyrazy
, w wielu przypadkach wygodnie jest przedstawiać straty w następującej postaci:

gdzie:

W związku ze zmiennością współczynnika c we wzorze Chezy powstała duża liczba wzorów doświadczalnych dla określenia tego współczynnika.

12. Wzór Manninga i Pawłowskiego - od czego zależy współczynnik n w tych wzorach.

Ponieważ współczynnik c we wzorze Chezy zależy od promienia hydraulicznego, oraz w pewnym stopniu od spadku, przeto niektórzy autorzy przyjęli dla określenia prędkości wzory o kształcie wykładniczym:

Podajemy tu najczęściej u nas stosowany wzór Manninga:

Ze względu na to, że zależność prędkości od spadku i promienia hydraulicznego, ujęta w postaci wzoru Chezy, często jest wykorzystywana przy różnych rozważaniach, celowe jest doprowadzenie wzoru Manninga do tej postaci. Jak łatwo zauważyć, wystarczy we wzorze Chezy przyjąć:

,aby otrzymać wzór Manninga.

Wzór Pawłowskiego

gdzie:

n - współczynnik szorstkości jak we wzorze Manninga,

- promień hydrauliczny (
),

y - zmienny wykładnik potęgi równy w przybliżeniu:

We wszystkich przytoczonych wzorach otrzymujemy prędkość średnią v w m/s biorąc podane w tablicach współczynniki, promień hydrauliczny w metrach i spadek jako stosunek wysokości do długości. W praktyce często spadek I wyrażamy w i podstawiając jego wartość do wzoru należy go przetransponować na stosunek (np. /=0,5°/oo; do wzoru należy podstawić wartość /=0,0005

13. Co to jest ruch krytyczny, podkrytyczny i nadkrytyczny.

Łatwo będziemy mogli rozpoznać, jaki ruch panuje w korycie o dowolnym kształcie przekroju, jeżeli zwrócimy uwagę na to, że warunkiem ruchu krytycznego jest spełnienie równania (57)

równanie to możemy przekształcić w następujący sposób:

skąd

(przez
oznaczyliśmy wysokość prędkości).

Lecz stosunek
jest głębokością średnią rozpatrywanego przekroju (o kształcie dowolnym). Znaczenie głębokości średniej widoczne jest z rysunku 86.

Rys. 86

Możemy zatem napisać, że ruch krytyczny panuje wówczas, gdy

(59)

czyli gdy średnia głębokość przekroju jest dwukrotnie większa od wysokości prędkości, gdy:

W przypadku koryta prostokątnego oznacza to, że:

Zależność (59) daje nam cechę rozpoznawczą dla ruchu podkrytycznego i nadkrytycznego przy dowolnym kształcie przekroju, a mianowicie:

Gdy
, w korycie panuje ruch podkrytyczny,

Gdy
, w korycie panuje ruch nadkrytyczny.

14. Co to jest głębokość krytyczna. Głębokość krytyczna.

W korytach otwartych przy ruchu wolnozmiennym linia energii wzniesiona jest ponad swobodne zwierciadło cieczy o wartość

Oznaczając głębokość strumienia przez h otrzymamy wzniesienie linii energii ponad dnem

(56)

Prędkość średnią
możemy wyrazić w zależności od przekroju strumienia A i przepływu Q, mianowicie:

Podstawiając tę wartość otrzymamy

(56')

Pamiętajmy, że w korycie otwartym przekrój strumienia jest funkcją napełnienia, czyli A=f(h).

Jeżeli będziemy rozpatrywali strumień o stałym przepływie Q = const, to widzimy, że energia strumienia (ściślej mówiąc — wzniesienie linii energii) jest funkcją tylko głębokości h, gdyż A=f(h).

Rozpatrzmy, jak zmienia się wzniesienie linii energii przy zmianie napełnienia h.

Ze wzoru (56') widzimy, że:

przy

przy

W obydwóch skrajnych przypadkach, zarówno gdy głębokość dąży do zera, jak i wówczas, gdy dąży do nieskończoności, E dąży do nieskończoności.

Ponieważ przy wszystkich innych wartościach h (pamiętajmy, że h musi być dodatnie) wartość .E jest skończona i dodatnia, zatem przy jakiejś głębokości musi ona osiągnąć minimum. W celu znalezienia minimum wyznaczymy
i wprowadzimy warunek
. Znajdując pochodną wyrażenia (56') względem h i zastępując A symbolem f (h) otrzymamy

Zwróćmy uwagę na to, że pochodna pola przekroju względem głębokości równa się szerokości swobodnego zwierciadła cieczy.

Rys.84

Istotnie, zgodnie z oznaczeniami podanymi na rysunku 84 możemy napisać dA=Bdh, a więc
. Stąd otrzymamy warunek, przy którym energia strumienia osiąga minimum w postaci

Załóżmy teraz, że strumień cieczy ma stałą energię E= const. Wartościami zmiennymi będą teraz h i Q. Rozpatrzmy, jak się zmienia przepływ Q przy zmianie napełnienia. Przy danej wartości E napełnienie h może się zmieniać w granicach od O do E.

Przekształćmy równanie (56') w sposób następujący:

Widzimy, że

Przy

przy

Ponieważ przepływ Q jest wartością zawsze dodatnią, a przy skrajnych wartościach h dąży do zera, więc przy pewnej wartości h musi Q osiągać maksimum. Z otrzymanej zależności widzimy, że Q osiąga maksimum, gdy osiąga maksimum, czyli gdy

Lub

Z poprzednich rozważań wiemy, że
, więc

lecz z równania (56')

czyli

Ostatecznie dochodzimy do takiego samego warunku (57) jak poprzednio

Jak wiemy, pole przekroju A jest funkcją głębokości (napełnienia) przekroju. Głębokość, przy której równanie (57) zostaje spełnione, nazywamy głębokością krytyczną i oznaczać ją będziemy przez
. Innymi słowy, głębokość krytyczna jest to taka głębokość, przy której przy danym przepływie energia strumienia osiąga minimum lub przy danej energii strumienia przepływ osiąga maksimum.

W przypadku przekroju prostokątnego pole przekroju A=h B, szerokość zaś zwierciadła B jest wartością stałą. Wobec tego wartość głębokości krytycznej dla przekroju prostokątnego otrzymamy podstawiając do równania (57)
, czyli:

skąd po przekształceniu

(58)

lub wprowadzając przepływ na l m szerokości koryta:

15. Opisz efekty występujące przy ruchu podkrytycznym i nadkrytycznym.

Widzimy, że krzywa ta przechodzi przez minimum (w stosunku do energii) przy głębokości krytycznej. Ruch panujący w korycie przy głębokości krytycznej nazywamy ruchem krytycznym. Głębokości mniejsze od krytycznej nazywamy głębokościami podkrytycznymi, a ruch w tym obszarze ruchem podkrytycznym lub rwącym. Głębokości większe od krytycznej nazywamy nadkrytycznymi, a ruch cieczy w tym obszarze nadkrytycznym lub spokojnym. Przy ruchu nadkrytycznym, jak łatwo zauważyć z wykresu, dominującą rolę gra energia potencjalna, przy ruchu podkrytycznym — kinetyczna.

Charakter rozpatrywanej krzywej wskazuje, że przy ruchu nadkrytycznym ze wzrostem głębokości strumienia energia rośnie, przy ruchu podkrytycznym zaś ze wzrostem głębokości energia maleje.

Rys. 85

Podzial ruchu w korytach otwartych na podkrytyczny i nadkrytyczny ma duże znaczenie dla praktyki, przy ruchu bowiem podkrytycznym wobec dużej energii kinetycznej łatwo następuje silne rozmywanie podłoża, jeśli nie jest ono należycie ubezpieczone; dlatego też ruch ten nazywamy rwącym. Przy konstruowaniu budowli wodnych dążymy do tego, aby nie dopuścić do ruchu podkrytycznego w naturalnym. niezabezpieczonym korycie, gdyż jego silne działanie erozyjne może spowodować rozmycie dna, niebezpieczne dla trwałości budowli.

16. Prawo Darcy'ego - wyjaśnić sens fizyczny współczynnika przepuszczalności k.

W wyniku przeprowadzonych badań stwierdził, że wydatek Q (objętość przepływającej wody V w czasie t) jest odwrotnie proporcjonalny do długości drogi filtracji l, a wprost proporcjonalny do pola powierzchni przekroju rury F, różnicy poziomów wody ΔH oraz współczynnika k, który dla określonego piasku ma wartość stałą. Można to zapisać w postaci:

Współczynnik k nazwany został współczynnikiem filtracji i ma wymiar prędkości [m/s]. Zależy on od właściwości przepływającej cieczy i właściwości ośrodka gruntowego. Zgodnie z równaniem Darcy'ego, oznacza on prędkość filtracji przy spadku hydraulicznym równym jedności.

W przepływie wód podziemnych wprowadza się również pojęcie prędkości porowej lub średniej prędkości rzeczywistej vp. Prędkość porowa jest zdefiniowana jako stosunek wydatku strumienia wód podziemnych Q do pola powierzchni zajętego przez przestrzenie niewypełnione szkieletem mineralnym, którymi następuje przepływ wody Fp.

Z zależności:

można obliczyć wartość średnią współczynnika filtracji Darcy'ego
dla ośrodka ekwiwalentnego wzorem:

17. Teoria Bousinessqua - równania przepływu swobodnego z infiltracją

9. Równanie ruchu w postaci Lamba.

Równanie ma postać

Równanie noszą nazwę równania Lamba. Postać ta jest dogodna wówczas, gdy chcemy mieć wyraźnie wydzielony wyraz obrazujący rotację po to, żeby np. pominąć go przy założeniu ruchu bezwirowego.

Przedstaw równanie równowagi sił dla cieczy lepkiej - ściśliwej.

gdzie:

v - prędkość,

b - siły masowe (np. grawitacja),

ρ - gęstość płynu,

p - ciśnienie,

ν - lepkość kinematyczna płynu

Lewe strony powyższych równań są pochodną substancjalną prędkości płynu. Uproszczeniem równania Naviera-Stokesa w założeniu przepływu ustalonego płynu doskonałego w jednorodnym polu sił grawitacyjnych jest równanie Bernoulliego. Ze względu na nieliniowość powyższego układu równań przepływ może mieć w ogólności charakter stochastyczny, generowana jest turbulencja oraz struktury koherentne

15.Równania ruchu w przypadku przepływu laminarnego i burzliwego.

Przejście pomiędzy ruchem laminarnym a turbulentnym ma bardzo gwałtowny charakter, co jest powodem, dla którego często wskazuje się na analogie pomiędzy utratą stabilności przepływu a przejściami fazowymi. Po przekroczeniu pewnej prędkości granicznej ruch płynu przechodzi w przepływ turbulentny, w którym strumień płynu zostaje rozbity na szereg wirów. Każdy z takich wirów jest złożony z jeszcze mniejszych wirów i ten podział może być prowadzony do obszarów zawirowań o coraz mniejszych rozmiarach. Ten skomplikowany ruch płynu nie ma wystarczająco ścisłego opisu teoretycznego. Pojawienie się turbulencji może być scharakteryzowane w przybliżony sposób przez bezwymiarową tzw. liczbę Reynoldsa,

16.Wyjaśnij pojęcia dolna i górna prędkość graniczna.

Prędkość, poniżej której na pewno panuje ruch laminarny, nazywamy dolną prędkością graniczną, prędkość, powyżej której panuje na pewno ruch burzliwy, nazywamy górną prędkością graniczną. O ile dolna prędkość graniczna jest łatwa do ustalenia, o tyle górna prędkość graniczna zależy w dużym stopniu od zachowania ostrożności przy przeprowadzaniu doświadczenia, mianowicie od tego, czy jakiś przypadkowy wstrząs lub zaburzenie nie wytrąciło cieczy ze stanu regularnego, toteż górna granica nie daje się ściśle ustalić. Zazwyczaj więc mówiąc o prędkości granicznej mamy na myśli dolną prędkość graniczną.

17.Obliczyć promień hydrauliczny przewodu o przekroju kołowym (całkowicie wypełnionym cieczą), jeżeli średnica przewodu równa się d.

Pole przekroju:

Obwód zwilżony:

Promień hydrauliczny:

Promień hydrauliczny przekroju kołowego równa się ćwierci średnicy lub połowie promienia geometrycznego. Wartość ta jest tak często spotykana w obliczeniach, że warto ją zapamiętać

Obliczyć promień hydrauliczny kanału trapezowego o:polu przekroju:
.

18. Opory ruchu i wysokość strat przy przepływie przez przekrój kołowy - równanie Poisseilla

Przy ruchu laminarnym, wobec tego, że cząstki cieczy poruszają się równolegle do osi przewodu i nie ma ruchów poprzecznych, opory ruchu powstają tylko dzięki lepkości i związanym z nią naprężeniom stycznym do kierunku ruchu. Opory powstające przy ruchu wyodrębnionego myślowo walca cieczy możemy wyrazić przez styczne naprężenia
na jego powierzchni.

Równanie wyraża rozkład prędkości w przekroju przewodu kołowego przy ruchu laminarnym Jest to równanie paraboloidy obrotowej. Jak łatwo zauważyć, maksymalna prędkość panuje na osi rury, to znaczy przy r=0 i równa się

Widzimy teraz, że przy ruchu laminarnym otrzymujemy straty na długości przewodu proporcjonalne do prędkości w pierwszej potędze, czyli zależność, którą otrzymujemy doświadczalnie, jak już mówiliśmy poprzednio.

19. Opory ruchu i wysokość strat przy przepływie swobodnym przez przekrój prostokątny.

Jeżeli w prostym korycie o stałym przekroju panuje ruch jednostajny, to znaczy, że wszystkie przekroje poprzeczne strumienia cieczy są sobie równe, a prędkości w odpowiadających sobie punktach, a więc i prędkości średnie w przekrojach, są jednakowe, bo swobodne zwierciadło cieczy układa się równolegle do dna koryta. Jeżeli ponadto przyjmiemy, że na całej powierzchni swobodnego zwierciadła cieczy panuje jednakowe ciśnienie, dajmy na to atmosferyczne, to dochodzimy do wniosku, że piezometryczna linia ciśnień pokrywa się z linią zwierciadła w przekroju podłużnym.

Wynika stąd, że strata energii na odcinku L wyrażona spadem linii ciśnienia
(linia energii jest równoległa do linii ciśnień) spowodowana jest tylko oporami na dolnej powierzchni wyodrębnionego pasa, a wobec założenia ruchu laminarnego opory te wywołane są tylko lepkością cieczy.

Oznaczmy naprężenia styczne (przypadające na jednostkę powierzchni) na dolnej powierzchni wyodrębnionego pasa przez
. Opory na powierzchni swobodnego zwierciadła wynikające na skutek zetknięcia się cieczy z otaczającym środowiskiem (np. powietrzem) pomijamy. Dla uchwycenia zależności między spadem linii ciśnień Ah a naprężeniami
rozpatrzmy pracę sił ciążenia i sił lepkości przy przesunięciu wyodrębnionego pasa cieczy o ds. Przy ruchu laminarnym straty są proporcjonalne do prędkości w pierwszej potędze, a wykładnik potęgi przy liczbie Reynoldsa w wyrażeniu określającym współczynnik oporu A równa się n=1.

21. Opory ruchu i rozkład prędkości w przypadku jednostajnego ruchu burzliwego.

Jak wiemy z doświadczeń Reynoldsa, na podstawie których ustaliliśmy podział rodzajów ruchu na laminarny i burzliwy, ruch burzliwy charakteryzuje się różnokierunkowym ruchem cząstek. W tym na pozór zupełnie chaotycznym ruchu możemy jednak wyróżnić kierunek główny i odpowiednią przeciętną prędkość w tym kierunku z tym, że dodatkowe ruchy traktujemy jako ruchy pulsacyjne.

Rozkład prędkości przeciętnych przy ruchu burzliwym, dzięki istnieniu poprzecznych prędkości pulsacji i mieszaniu się cząstek różnych warstw, ma charakter bardziej wyrównany niż w przypadku ruchu laminarnego. Ponieważ opory, a więc i rozkład prędkości, zależy jak wynika ze wzoru:

od trudnej do doświadczalnego ustalenia wartości l, to wzory ujmujące rozkład prędkości opierają się na dowolnie założonych rozkładach, l. Z tych względów ograniczymy się jedynie do opisowego omówienia rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym przy ruchu burzliwym. Przede wszystkim należy zwrócić baczną uwagę na specyficzne warunki ruchu tuż przy ściankach przewodu lub koryta. Z jednej strony ścianki nie pozwalają na istnienie prędkości pulsacji w kierunku do nich prostopadłym w warstwie cieczy przylegającej do ścianek, z drugiej strony, jak to mówiliśmy już przedtem, cząstki cieczy bezpośrednio przylegające do ścianek są przez nie hamowane i znajdują się w spoczynku, a w bezpośrednim otoczeniu ruch jest powolny. Wymienione warunki powodują, że w warstewce cieczy przylegającej do ścianek panuje ruch laminarny, dopiero w pewnym oddaleniu od ścianek mogą powstawać pulsacje poprzeczne, a co za tym idzie ruch burzliwy.

24.Wyjaśnić pojęcie charakterystyki przepływu. ruchu płynu, podstawowe pojęcie z zakresu kinematyki płynów.

W ujęciu ogólnym przepływ można scharakteryzować tzw. metodą Eulera przez podanie pola prędkości płynu czyli zależności prędkości od współrzędnych przestrzennych i czasu.

Równanie postaci:

o warunkach początkowych:

, kolejne punkty z krokiem h na osi x. Zatem:

. Ponieważ z definicji pochodnej:

, czyli zarazem:

. Po przekształceniu:

Ponieważ szukamy wzoru na yn + 1, zatem do wzoru yn + 1 = yn + Δy podstawiamy wyżej wyliczone Δy i otrzymujemy finalne równanie:

25.Wyjaśnij funkcjonowanie zwężki Venturiego.- przyrząd służący do pomiaru prędkości przepływu cieczy lub gazu, stworzonym przez Giovanni Battista Venturiego.

Zasada jej działania jest idealną ilustracją prawa Bernoulliego:

W pewnym miejscu kanału, w którym z prędkością v przemieszcza się płyn (gaz lub ciecz), znajduje się przewężenie o znacznie mniejszym przekroju. Z prawa Bernoulliego, oraz warunku ciągłości przepływu, wynika, że kwadrat prędkości płynu przed zwężką jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień przed zwężką i na niej. W klasycznej zwężce Venturiego w celu pomiaru wykorzystuje się barometr różnicowy. Obecnie w celach pomiarowych wykorzystuje się działające na tej samej zasadzie kryzy. Zwężka znalazła szerokie zastosowania w miejscach, gdzie wymagane jest wytworzenie podciśnienia mając do dyspozycji tylko ciśnienie, np. w wodnych pompkach próżniowych

Jaki jest hydraulicznie najkorzystniejszy przekrój trapezowy i z czego to wynika.

Ze względu na wykonanie praktyczne kształt półkolisty nie zawsze jest korzystny, częściej stosujemy przekroje trapezowe. Toteż rozpatrzymy, jaki warunek musi spełniać hydraulicznie najkorzystniejszy przekrój trapezowy.

Przyjmiemy oznaczenia, jak na rysunku 82 i pochylenia skarp (kąt a) traktujemy na razie jako stałe.

Wówczas

skąd

Lecz obwód zwilżony

Lub

dla określenia warunku, przy którym osiąga minimum, znajdziemy pochodną

lecz

zatem

Z warunku:

znajdujemy

Zachodzić to będzie wtedy, gdy trapez jest opisany na półkolu.

Istotnie, z rysunku 83 łatwo stwierdzimy, ze wówczas zachodzi zależność

czyli

Warunek ten można przedstawić i w inny sposób, a mianowicie

Dzieląc osobno licznik i mianownik przez h otrzymamy

lecz

zatem

czyli

Po stwierdzeniu, że przy każdym pochyleniu skarpy hydraulicznie najkorzystniejszym przekrojem trapezowym jest przekrój opisany na półkolu

Jakie jest najkorzystniejsze pochylenie skarp przekroju trapezowego i z czego to wynika.

Biorąc za punkt wyjścia zależność

otrzymamy

lecz

zatem

Skąd

osiąga minimum, gdy wyrażenie w nawiasie osiąga minimum, zatem przyrównując pochodną tego wyrażenia do zera otrzymamy

skąd

Widzimy więc, że najkorzystniejszym pochyleniem skarp jest kąt
.

Od czego zależy spadek krytyczny koryta.

Spadkiem krytycznym koryta nazywamy taki spadek, przy którym strumień płynący ruchem jednostajnym (spadek zwierciadła równy spadkowi dna) ma głębokość krytyczną. Na podstawie wzoru Chezy

biorąc pod uwagę, że spadek dna i równa się spadkowi zwierciadła I, możemy napisać

Korzystając z zależności:

oraz

będziemy mieli:

Wprowadzimy teraz warunek ruchu krytycznego (57)

otrzymamy spadek krytyczny

Opisz efekty przy przejściu z ruchu podkrytycznego do nadkrytycznego i odwrotnie z ruchu nadkrytycznego do podkrytycznego.

Dla uzmysłowienia ogólnego charakteru przejścia z jednego ruchu w drugi rozpatrzymy dwa proste przypadki, gdy następuje załamanie spadku koryta. W pierwszym przypadku (rys.87)

korto o spadku mniejszym od krytycznego przechodzi w koryto o spadku większym od krytycznego. Zrozumiałe, że w pierwszej części koryta przy ruchu jednostajnym wytworzy się głębokość nadkrytyczna, w drugiej zaś podkrytyczna. Toteż w obrębie załamania nastąpi przejście z ruchu nadkrytycznego w podkrytyczny. Przy takim przejściu utworzy się łagodna linia zwierciadła, jak widać z rysunku 87. Gdzieś w obrębie załamania strumień przejdzie przez głębokość krytyczną. Jednak, jak wykazuje doświadczenie, głębokość krytyczna nie powstaje ściśle na załamaniu (jak początkowo-przypuszczano), lecz powyżej załamania spadku.

W drugim przypadku (rys. 88) będziemy mieli do czynienia z przejściem ruchu podkrytycznego w nadkrytyczny. Przy takim przejściu zwierciadło zazwyczaj nie tworzy linii łagodnej, lecz następuje gwałtowne przejście od małej do dużej głębokości, połączone z wytworzeniem się poziomego walca cieczy. Powstaje tak zwany odskok znany pod nazwą odskoku Bidone'a. W wyjątkowych przypadkach specjalnego dobrania kształtu koryta można osiągnąć przejście z ruchu podkrytycznego w nadkrytyczny w postaci łagodnej linii zwierciadła.

Zaburzenie panujące przy istnieniu walca pochłania dość dużą ilość energii, toteż zjawisku odskoku towarzyszy strata energii, zresztą często wykorzystywana w praktyce do rozproszenia nadmiaru energii wody przy budowlach.

Teoria Dupuit - zalety i wady teorii.

Prędkość filtracji w odległości r od studni napiszemy zgodnie z teorią Dupuit w postaci:

Dopływ swobodny wody do studni.

Do obliczeń potrzebna jest w tym przypadku znajomość zasięgu leja depresji R. Określa się ją za pomocą wzorów empirycznych. Do najczęściej stosowanych zalicza się:

wzór Sichardta - dla studni o zwierciadle napiętym:

gdzie:

depresja w [m],

k współczynnik filtracji w [m/s],

R promień zasięgu leja depresji w [m];

• wzór Kusakina - dla studni o zwierciadle swobodnym:

gdzie:

depresja w [m],

k współczynnik filtracji w [m/s],

R promień zasięgu leja depresji w [m],

H średnia miąższość warstwy wodonośnej w [m].

Korzystanie z powyższych wzorów wymaga dużej ostrożności. Trzeba pamiętać, że powinny być spełnione warunki określone założeniami teorii Dupuita, więc zakres stosowania ich jest wąski. Szczególnie, gdy depresja s jest duża, powinno wykorzystywać się rozwiązanie wynikające z teorii lepiej opisującej rzeczywistość.

Dopływ swobodny wody do grobli.

Równania ciągłości przepływu filtracyjnego.

Równanie ciągłości przepływu ma postać:

???

2. Wyprowadź podstawowe prawo hydrostatyki

Oznaczamy ciśnienie panujące w punkcie M przez p

Ściany prostopadłe do osi x odległe są od punktu M o 1/2 dx

- ciśnienie panujące na tych ścianach

oraz

Parcia jako siły powierzchniowe działające na te ściany będą odpowiednio równe

oraz

Wypadkowa sił powierzchniowych działających w kierunku osi x będzie równa

Składowe siły masowej w kierunku osi x,

Wobec tego, że ciecz znajduje się w spoczynku, suma rzutów wszystkich sit na kierunek osi x jest równa zeru, tj.:

lub

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie w stosunku do kierunków osi y i z otrzymujemy w wyniku trzy równania:

dodając je stronami mamy

Lewa strona równania jest różniczką zupełną ciśnienia p (gdyż dla cieczy znajdującej się w spoczynku p =f(x, y, z), a nie zależy od czasu) a więc

Jest to podstawowe równanie Hydrostatyki wyrażające zależność pomiędzy ciśnieniem a siłami masowymi. Całkując otrzymamy wartość ciśnienia

Wartość stałej całkowania C możemy każdorazowo wyznaczyć, jeżeli znamy ciśnienie w jakimkolwiek punkcie cieczy.

Jeżeli przyjmiemy, że jednostkowe siły masowe mają potencjał (rozdz. X) i oznaczymy go przez V, to:

Podstawiając te wartości do wzoru ???? otrzymamy:

---