Wyrównanie ciągu poligonowego zamkniętego metodą przybliżoną

Ciągiem poligonowym (poligonem) zamkniętym nazywamy wielobok, w którym zostały pomierzone wszystkie boki i wszystkie kąty. Założymy dodatkowo, że znane są współrzędne jednego z wierzchołków oraz azymut jednego z boków (dla uproszczenia niech będzie to bok, którego punktem początkowym jest punkt o znanych współrzędnych).

Zadanie polega na wyznaczeniu współrzędnych wszystkich punktów ciągu poligonowego.

Współrzędne punktu P₂ można wyznaczyć jako:

.

Współrzędne punktu P₃ wyznaczamy po obliczeniu azymutu :

Powtarzając wyznaczenie współrzędnych punktu następnego w ciągu na podstawie współrzędnych poprzedniego oraz obliczonego azymutu i pomierzonej odległości łącznie n-1 razy (n - liczba punktów ciągu poligonowego) otrzymamy współrzędne ostatniego punktu (w naszym przykładzie będzie to punkt P₇).

Rozwiązanie takie nie jest jednak poprawne. Jeśli obliczymy azymut i na podstawie współrzędnych punktu ostatniego (P₇) oraz boku obliczymy współrzędne punktu P₁, to z powodu błędów pomiaru kątów i odległości otrzymamy wartości różniące się od wyjściowych (ewentualna zgodność będzie tylko dziełem przypadku). Zauważmy również, że nie wykorzystaliśmy w obliczeniach trzech obserwacji: kątów i oraz odległości . Zatem liczenie metodą bezpośrednią nie wykorzystuje wszystkich danych oraz daje niespójne wyniki.

Aby uwzględnić nie wykorzystane obserwacje nadliczbowe należy do wszystkich wielkości mierzonych dodać poprawki pozwalające osiągnąć zgodność poprawionych w ten sposób obserwacji z warunkami geometrycznymi, jakie powinien spełniać ciąg poligonowy zamknięty.

W geodezji stosuje się dwie metody rozwiązania tego zadania: ścisłą oraz przybliżoną.

Metoda ścisła pozwala wyznaczyć poprawki do obserwacji (kątów i odległości) spełniające warunek:

gdzie: - poprawka (dodawana do i-tej obserwacji - kąta lub odległości),

- błąd i-tej obserwacji.

Poprawki są obliczane jednocześnie dla kątów i odległości na drodze dość żmudnego procesu obliczeniowego. Metoda ta jest dziś często stosowana ze względu na powszechne wykorzystanie komputera, gdzie złożoność obliczeniowa nie stanowi, w tym przypadku, istotnej przeszkody.

Alternatywą dla metody ścisłej jest metoda przybliżona. Daje ona rezultaty zbliżone do wyników metody ścisłej, poprawki nie spełniają jednak warunku minimum. Kosztem jakości wyrównania osiąga się znaczne zmniejszenie ilości obliczeń.

Wyrównanie ciągu poligonowego zamkniętego metodą przybliżoną rozpoczniemy od sprawdzenia, czy pomierzone kąty nie są obarczone błędami grubymi (czynność ta powinna być wykonana również przy wyrównaniu metodą ścisłą). Jeśli tak jest, to obserwacje nie nadają się do wyrównania - należy powtórzyć pomiar kątów.

Suma teoretyczna kątów wewnętrznych poligonu jest wielkością zależną tylko od ilości kątów i wyraża się wzorem:

(wielobok o n wierzchołkach można podzielić na n-2 trójkątów).

Sumę kątów pomierzonych (określaną niekiedy jako suma praktyczna) zapiszemy jako:

.

Różnicę między sumą teoretyczną a sumą kątów pomierzonych nazywamy odchyłką kątową

.

Odchyłka kątowa nie może być zbyt duża. Należy określić pewną wartość graniczną, której odchyłka kątowa nie może przekraczać. Wartość ta zależy od ilości kątów i błędu pomiaru kąta (zakładamy, że wszystkie kąty zostały pomierzone z tym samym błędem), nazywana jest odchyłką kątową maksymalną i wyraża się wzorem:

(można łatwo sprawdzić, że odchyłka kątowa maksymalna jest błędem granicznym sumy kątów poligonu).

Jeśli , to uznajemy, że wartości kątów nie zawierają błędów grubych i możemy przystąpić do wyznaczania poprawek do kątów.

Poprawki do kątów określamy kierując się następującymi przesłankami:

- wszystkie kąty zostały pomierzone z takim samym błędem, zatem powinny otrzymać takie same

poprawki,

- suma poprawek musi być równa odchyłce kątowej (warunek ten zapewnia zgodność teoretycznej

sumy kątów z poprawionymi kątami pomierzonymi),

- najmniejsza poprawka może wynosić połowę błędu pomiaru kąta (czasem przyjmuje się wartość

równą błędu pomiaru kąta, lecz dokładność taka jest mocno zawyżona i przy zastosowaniu

przybliżonej metody wyrównania nie ma racji bytu).

Często spełnienie wszystkich trzech warunków nie jest możliwe, np. dla ciągu poligonowego liczącego 7 punktów otrzymaliśmy odchyłkę kątową , przy błędzie pomiaru kąta wynoszącym .

Gdyby każdy z kątów miał otrzymać taką samą poprawkę, to musiała by ona wynosić co w zaokrągleniu daje . Nadanie każdemu kątowi takiej poprawki powoduje niezgodność sumy poprawek z odchyłką kątową. W takim przypadku należy nadać kątom poprawki w taki sposób, aby spełnione były warunki: drugi i trzeci kosztem warunku pierwszego - w opisanym wyżej przypadku sześciu kątom powinny zostać nadane poprawki po , a jeden kąt otrzymuje poprawkę równą 0.

Kąty wyrównane otrzymamy dodając poprawki do kątów pomierzonych:

Suma kątów wyrównanych jest równa teoretycznej sumie kątów.

Gdybyśmy powtórzyli obliczenie współrzędnych metodą bezpośrednią przy użyciu wyrównanych kątów, to współrzędne punktu obliczone na podstawie współrzędnych punktu , azymutu i odległości znów nie będą zgodne z wyjściowymi. Następnym krokiem powinno być wyznaczenie poprawek dla boków tak, aby współrzędne pierwotne punktu były równe współrzędnym obliczonym.

Wyznaczenie poprawek dla boków jest czynnością dość złożoną obliczeniowo. Postępowanie takie jest zgodne z jednym z postulatów rachunku wyrównawczego, mówiącego, że należy wyrównywać obserwacje, a nie ich funkcje. Jednak ze względu na nakład obliczeń oraz fakt, że wyrównanie przeprowadzane jest metodą przybliżoną zdecydujemy się postąpić wbrew temu nakazowi i poddamy wyrównaniu przyrosty współrzędnych będące funkcjami obserwacji - boków i azymutów (azymuty są funkcjami kątów).

Wyrównanie przyrostów rozpoczniemy od obliczenia przyrostów współrzędnych dla wszystkich boków. Wykorzystamy do tego boki oraz azymuty poszczególnych boków obliczone na podstawie azymutu wyjściowego i wyrównanych wartości kątów:

Sumując obliczone przyrosty otrzymamy ich sumy praktyczne:

Sumy teoretyczne przyrostów mają być równe zeru (poligon zamykamy na tym samym punkcie, z którego rozpoczęliśmy obliczenia):

Różnice między sumą teoretyczną a sumą praktyczną przyrostów są to odchyłki przyrostów:

Aby móc charakteryzować odchyłki przyrostów jedną wartością, a nie dwiema, wprowadza się pojęcie odchyłki liniowej:

Odchyłka liniowa nie może być zbyt duża; powinna być ograniczona przez pewną wielkość maksymalną zależną od długości poligonu i narzędzia dalmierczego. Istnieje kilka wzorów określających maksymalną odchyłkę liniową. Zakładając, że odległości były mierzone taśmą stalową (w dobie powszechnego zastosowania dalmierzy elektrooptycznych pomiar poligonu taśmą wykonuje się niezmiernie rzadko, nie zmienia to jednak ogólnego sposobu postępowania podczas wyrównania) można przyjąć prosty wzór na odchyłkę liniową maksymalną:

, gdzie

Jeśli pomiar odległości wykonywany był dalmierzem elektrooptycznym, to mianownik powinien zostać znacznie zwiększony lub należy przyjąć odchyłkę liniową dopuszczalną według innego kryterium.

Odchyłka liniowa nie może przekraczać odchyłki liniowej maksymalnej, czyli . Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to należy przypuszczać, że w długościach boków występują błędy grube i należy powtórzyć pomiar boków (wszystkich lub tylko niektórych).

Gdy odchyłka liniowa nie przekracza maksymalnej możemy przystąpić do wyznaczania poprawek dla poszczególnych przyrostów zachowując następujące warunki:

- suma poprawek do przyrostów x musi być równa odchyłce , suma poprawek do przyrostów y musi być równa odchyłce ,

- minimalna poprawka wynosi 0.01 m (1 cm),

- przyrosty otrzymują poprawki proporcjonalne do długości boków; im dłuższy bok, tym większe

poprawki v_x i v_y otrzymują jego przyrosty.

Po dodaniu poprawek do przyrostów otrzymujemy przyrosty wyrównane:

Ostatnią czynnością jest obliczenie współrzędnych wyrównanych:

Kontrolą poprawności wyrównania jest osiągnięcie współrzędnych punktu wyjściowego po dodaniu wyrównanych przyrostów i do współrzędnych punktu ostatniego.

Przykład

Współrzędne punktu 1 wynoszą 1(1500.00, 1500.00)

Azymut boku (1-2) wynosi (1-2) = 73^g230

Nr	Kąty	Kąty wyr.	Odległości	ΔX	ΔY	ΔX^wyr	ΔY^wyr	X	Y
pkt	pom.	i azymuty
7
	+0.5
1	106.68	106.685		-4	+5			1500.00	1500.00
	+0.5	73.230	195.10	79.64	178.10	79.60	178.15
2	161.44	161.445		-4	+4			1579.60	1678.15
	+0.5	111.785	162.52	-29.91	159.74	-29.95	159.78
3	133.93	133.935		-2	+3			1549.65	1837.93
	+0.5	177.850	109.94	-103.35	37.48	-103.37	37.51
4	123.79	123.795		-3	+4			1446.28	1875.44
	+0.5	254.055	132.56	-87.58	-99.51	-87.61	-99.47
5	191.94	191.945		-3	+4			1358.67	1775.97
	+0.5	262.110	150.42	-84.33	-124.56	-84.36	-124.52
6	119.75	119.755		-3	+3			1274.31	1651.45
		342.355	132.99	82.10	-104.63	82.07	-104.60
7	162.44	162.440		-3	+4			1356.38	1546.85
		379.915	151.11	143.65	-46.89	143.62	-46.85
1								1500.00	1500.00

[α]^p= 999.97 L=1034.64 [ΔX]^p=+0.22 [ΔY]^p=-0.27

[α]^t=1000.00

Wyrównanie sieci poligonowej metodą punktów węzłowych

Często zdarza się, że obszar, który ma być objęty pomiarem jest dość duży. W takim przypadku pojedyńczy ciąg poligonowy może nie stanowić wystarczającego pokrycia całego terenu punktami o znanych współrzędnych. W takim przypadku można zaprojektować sieć punktów, które są utworzone przez kilka połączonych ze sobą ciągów (otwartych lub zamkniętych). Przykład takiej sieci przedstawiono poniżej.

Na podstawie znanych współrzędnych punktów: 1025, 1026 i 1042, azymutu boku 1042-1 oraz pomierzonych boków i kątów należy wyznaczyć najbardziej prawdopodobne współrzędne punktów poligonowych.

Pracę należy rozpocząć od sporządzenia szkicu zawierającego pomierzone kąty i boki. Następnie na szkicu tym należy zlokalizować punkty węzłowe.

Punktem węzłowym nazywamy punkt w którym zbiegają się co najmniej trzy ciągi poligonowe.

W naszym przypadku będą to punkty: 3, 8 i 20. Dla każdego punktu węzłowego wybieramy jeden z boków, którego początkiem jest ten punkt węzłowy. Azymuty tych boków (tzw. azymuty węzłowe) będą obliczone w specjalny sposób. W przypadku rozpatrywanej sieci wybrano boki: 3-4, 8-9 i 20-21.

Ostatnią czynnością pomocniczą jest ponumerowanie otwartych ciągów poligonowych i określenie ich dodatniego kierunku. Numeracja ciągów i kierunki mogą być dowolne, ale muszą być ustalone (na szkicu kierunki ciągów zaznaczono strzałkami).

Zauważmy, że każdy z ciągów zawartych między sąsiednimi punktami węzłowymi rozpoczyna się i kończy azymutem węzłowym. Gdyby znane były wartości tych azymutów, to znane by były również sumy teoretyczne kątów, a wtedy można by określić odchyłki kątowe dla każdego ciągu i wyrównać kąty.

Podobnie - każdy z ciągów rozpoczyna się i kończy na punktach węzłowych. Znajomość ich współrzędnych pozwala na określenie sumy teoretycznej przyrostów współrzędnych, a zatem na wyznaczenie odchyłek przyrostów współrzędnych, co pozwala obliczyć wyrównane przyrosty współrzędnych i same współrzędne.

Rozwiążmy podany przykład przyjmując dane: 1025(1920.75, 3466.73), 1026(1734.82, 3471.30), 1042(1920.76, 3875.16), azymut boku 1042-1 = 4^g964 oraz błąd pomiaru kąta ma = 0.2^c.

Nr ciągu	Nr pkt	Kąty poziome g c cc				Kąty wyrównane i azymuty g c cc			Długości boków d	Przyrosty obliczone		Przyrosty wyrównane		Współrzędne		Nr pkt
																					Δx	Δy	Δx^W	Δy^W	X	Y
1	2	3				4			5	6	7	8	9	10	11	12
I II III	1042	prawe												1920.76	3875.16	1042
												4	96.4					97.80	97.50	-0.02 7.62	97.50	7.60
							1	225	-0.2 26.7			225	26.5															2018.26	3882.76	1
												379	69.9										170.12	+0.01 161.54	-0.02 -53.33	161.55	-53.35
							2	156	-0.2 57.9			156	57.7															2179.81	3829.41	2
												23	12.2										81.48	76.16	-0.01 28.95	76.16	28.94
							3	124	-0.2 05.6			124	05.4															2255.97	3858.35	3
																								[Δxp]= 335.20	[Δyp]= -16.76
							4	[p]= 505	90.2
																							L=349.40	[Δxt]= 335.21	[Δyt]= -16.81
								[t]= 505	89.6
																								fX = 0.01	fY = -0.05
				f= - 0.006 fmax=0.010
																							fL = 0.05	fLmax = 0.017
			3	prawe																				2255.97	3858.35	3
											99	06.8					103.64						+0.02 1.52	103.63	1.54	103.63
			4	197	13.7			197	13.7															2257.51	3961.98	4
											101	93.1					100.65						+0.01 -3.05	100.60	-3.04	100.60
			5				175	-0.1 46.9			175	46.8															2254.47	4062.58	5
											126	46.3					169.93						+0.02 -68.62	+0.01 155.46	-68.60	155.47
			6				141	-0.1 87.2			141	87.1															2185.87	4218.05	6
											184	59.2					133.46						+0.02 -129.57	+0.01 31.99	-129.55	32.00
			7				189	-0.1 93.8			189	93.7															2056.32	4250.05	7
											194	65.5					126.97						+0.02 -126.52	+0.01 10.65	-126.50	10.66
			8				192	-0.1 41.1			192	41.0															1929.82	4260.71	8
											202	24.5											[Δxp] = -326.24	[Δyp] = 402.33
			9				[p]= 896	82.7
																	L=634.65						[Δxt] = -326.15	[Δyt] = 402.36
							[t]= 896	82.3
																							fX = 0.09	fY = 0.03
				f= - 0.004 fmax=0.013
																							fL = 0.09	fLmax = 0.32
			8	prawe																				1929.82	4260.71	8
											202	24.5					86.94						-86.89	+0.02 -3.07	-86.89	-3.05
			9				167	+0.1 70.7			167	70.8															1842.93	4257.66	9
											234	53.7					138.81						-118.88	+0.02 -71.67	-118.88	-71.65
			10				123	33.5			123	33.5															1724.05	4186.01	10
											311	20.2					165.65						29.00	+0.02 -163.09	29.00	-163.07
			11				221	+0.1 71.0			221	71.1															1753.05	4022.94	11
											289	49.1					176.16						+0.01 -28.95	+0.03 -173.77	-28.94	-173.74
			12				93	72.3			93	72.3															1724.11	3849.20	12
											395	76.8					91.66						91.46	+0.02 -6.09	91.46	-6.07
			13				176	+0.1 96.2			176	96.3															1815.57	3843.13	13
											18	80.5					109.95						105.19	+0.02 32.01	105.19	32.03
			1042				213	84.1			213	84.1															1920.76	3875.16	1042
																							[Δxp] = -9.07	[Δyp] = -385.68
			1				[p]= 997	27.8
																	L=769.17						[Δxt] = -9.06	[Δyt] = -385.55
							[t]= 997	28.1
																							fX = 0.01	fY = 0.13
				f = 0.003 fmax=0.015
																							fL = 0.13	fLmax = 0.38
	Nr ciągu	Nr pkt	Kąty poziome g c cc				Kąty wyrównane i azymuty g c cc			Długości boków d	Przyrosty obliczone		Przyrosty wyrównane		Współrzędne		Nr pkt
																				Δx	Δy	Δx^W	Δy^W	X	Y
1	2	3				4			5	6	7	8	9	10	11	12
IV V Vi	1	prawe
												204	96.4
							1042	314	+0.1 93.5			314	93.6															1920.76	3875.16	1042
												90	02.8										87.92	-0.01 13.72	+0.02 86.84	13.71	86.86
							14	184	+0.2 72.0			184	72.2															1934.47	3962.02	14
												105	30.6										201.83	-0.01 -16.80	+0.03 201.13	-16.81	201.16
							15	213	+0.2 20.8			213	21.0															1917.66	4163.18	15
												92	09.6										98.27	-0.01 12.17	+0.02 97.51	12.16	97.53
							8	89	+0.2 84.9			89	85.1															1929.82	4260.71	8
												202	24.5											[Δxp] = 9.09	[Δyp] = 385.48
							9	[p]= 802	71.2
																							L=388.02	[Δxt] = 9.06	[Δyt] = 385.55
								[t]= 802	71.9
																								fX = 0.03	fY = 0.07
				f = 0.007 fmax=0.012
																							fL = 0.08	fLmax = 0.19
			1	prawe
											204	96.4					101.99						-0.01 16.77	-100.60
			1042				94	+0.2 44.8			94	45.0															1920.76	3875.16	1042
											310	51.4					137.91						-0.02 32.01	+0.01 -134.14	16.76	-100.60
			16				195	+0.3 59.9			195	60.2															1937.52	3774.56	16
											314	91.2											[Δxp] = 48.78	[Δyp] = -234.74	31.99	-134.13
			20				134	+0.2 19.4			134	19.6															1969.51	3640.43	20
											380	71.6					L=239.90						[Δxt] = 48.75	[Δyt] = -274.73
			21				[p]= 424	24.1
																							fX = 0.03	fY = 0.01
							[t]= 424	24.8
																							fL = 0.03	fLmax = 0.12
				f = 0.007 fmax=0.010
			1025	lewe
											198	43.5
			1026				78	+0.1 59.2			78	59.3															1734.82	3471.30	1026
											77	02.8					83.31						+0.02 30.47	+0.01 80.75	30.49	80.76
			17				159	+0.1 04.9			159	05.0															1765.31	3552.06	17
											36	07.8					99.31						+0.02 83.78	+0.01 53.32	83.80	53.33
			18				161	+0.2 47.2			161	47.4															1849.11	3605.39	18
											397	55.2					79.29						+0.02 79.23	-3.05	79.25	-3.05
			19				249	+0.1 99.8			249	99.9															1928.36	3602.34	19
											47	55.1					56.06						+0.01 41.14	38.09	41.15	38.09
			20				133	+0.1 16.4			133	16.5															1969.51	3640.43	20
											380	71.6											[Δxp] = 234.62	[Δyp] = 169.11
			21				[p]= 782	27.5
																	L=320.97						[Δxt] = 234.69	[Δyt] = 169.13
							[t]= 782	28.1
																							fX = 0.07	fY = 0.02
				f = 0.006 fmax=0.013
																							fL = 0.07	fLmax = 0.16

Nr ciągu	Nr pkt	Kąty poziome g c cc			Kąty wyrównane i azymuty g c cc			Długości boków d	Przyrosty obliczone		Przyrosty wyrównane		Współrzędne		Nr pkt
																		Δx	Δy	Δx^W	Δy^W	X	Y
1	2	3			4			5	6	7	8	9	10	11	12
VII	20	prawe											1969.51	3640.43	20
										380	71.6					102.13	+0.02 97.48	+0.01 -30.47	97.50	-30.46
						21	180	15.8		180	15.8															2067.01	3609.97	21
										0	55.8										173.68	+0.03 173.67	+0.02 1.52	173.70	1.54
						22	111	42.6		111	42.6															2240.71	3611.51	22
										89	13.2										134.50	+0.02 22.85	+0.02 132.54	22.87	132.56
						23	184	-0.1 89.1		184	89.0															2263.58	3744.07	23
										104	24.2										114.52	+0.02 -7.63	+0.01 114.27	-7.61	114.28
						3	205	17.4		205	17.4															2255.97	3858.35	3
										99	06.8											[Δxp] = 286.37	[Δyp] = 217.86
						4	[p]= 681	64.9
																					L=524.83	[Δxt] = 286.46	[Δyt] = 217.92
							[t]= 681	64.8
																						fX = 0.09	fY = 0.06
					f = - 0.001 fmax=0.012
												fL = 0.11									fLmax = 0.26

Pierwszą czynnością, którą należy wykonać jest kontrola zgodności kątów w pojedyńczych poligonach zamkniętych (w tzw. oczkach). W rozpatrywanym przypadku mamy trzy oczka, dla których liczymy kolejno: sumę kątów pomierzonych, sumę kątów teoretyczną, odchyłkę kątową otrzymaną i odchyłkę kątową maksymalną. Odchyłek kątowych na tym etapie nie rozrzucamy, są one tylko sprawdzeniem poprawności pomiaru kątów.

Właściwe obliczenia rozpoczniemy od wpisania numerów ciągów, numerów punktów, wartości pomierzonych kątów i boków do odpowiednich kolumn powyższej tabeli (kolumny: 1, 2, 3 i 5). Kąty w kolumnie 3 powinny być wpisane jako lewe lub prawe dla całego ciągu - w razie konieczności należy przeliczyć kąt niezgodny z pozostałymi (np. w ciągu IV wszystkie kąty są kątami prawymi oprócz kąta na punkcie 1042; należy go wyznaczyć jako kąt prawy, czyli jako kąt 14-1042-1). Dla każdego z ciągów sumę kątów pomierzonych [_p] wpisujemy w kolumnie 3, a sumę długości boków w kolumnie 5. Wielkości te będą przydatne do dalszych obliczeń.

Wyrównanie sieci poligonowej metodą punktów węzłowych dzieli się, podobnie jak wyrównanie pojedyńczego ciągu poligonowego, na dwa etapy:

• wyrównanie kątów,

• wyrównanie przyrostów.

Pierwszy etap rozpoczyna obliczenie azymutów węzłowych. Azymuty węzłowe powinny być obliczone z możliwie wysoką dokładnością, ponieważ od ich wartości będzie zależała odchyłka kątowa, a tym samym poprawki do pomierzonych kątów.

Do obliczenia azymutów węzłowych użyjemy znanego już wzoru:

Aby uzyskać najbardziej prawdopodobną wartość azymutu węzłowego wyznaczymy go trzema najkrótszymi drogami (czyli drogami, które wymagają do obliczenia najmniejszej ilości kątów). Postulat ten jest zgodny z oczekiwaniami - pomiar każdego kąta jest obarczony błędem średnim m_. Im więcej kątów użytych do obliczeń, tym większym błędem będzie obarczony wynik. Ze względu na technologię pomiaru kątów zakładamy, że co najmniej dwa kąty, których wierzchołkiem jest ten sam punkt, wykorzystane do obliczeń traktujemy jako jeden kąt (np. dla ciągu IV do obliczenia kąta prawego 14-1042-1 używamy pozostałych trzech kątów, jednak ilość kątów w ciągu IV wynosić będzie 4, ponieważ obliczony kąt na punkcie 1042 traktujemy jako jeden kąt). Pod pojęciem „drogi”, którą obliczamy azymut węzłowy należy rozumieć jeden lub więcej ciągów, których kąty są niezbędne do obliczenia azymutu końcowego.

Weźmy pod uwagę azymut węzłowy 3-4. Wyznaczymy jego wartość licząc go trzema najkrótszymi drogami:

• ciągiem I (3 kąty)

• ciągami: V+VII (7 kątów)

• ciągami: IV-II (8 kątów) - w tym przypadku wyznaczymy azymut odwrotny, który różni się od azymutu wprost o 200^g.

Obliczenia wygodnie jest przeprowadzać w tabeli.

Obliczenie azymutu węzłowego 3 - 4

Nr-y ciągów		Punkt początkowy	Ilość kątów (ni)		Waga odcinka Pi=	Azymut wyjściowy Ao ° ′ ″ g c cc				Suma kątów lewych lub prawych ° ′ ″ g c cc			Niewyrównany azymut węzłowy Ai ° ′ ″ g c cc				Poprawki vi=Aw-Ai	Iloczyny Ai⋅pi	Iloczyny pi⋅vi
1		2	3		4	5				6			7				8	9	10
I		1042	3		3.333	4		96.4		505	90.2		99		06.2		0.0064	330.1736	0.0213
V+VII		1042	7		1.429	204		96.4		1105	89.0		99		07.4		-0.0056	141.5767	-0.0080
IV-II		1042	8		1.250	204		96.4		1294	11.5		299		07.9		-0.0106	123.8488	-0.0132
n = 3			[pi] = 6.012			[pi](n-1) = 12.024							Sumy:					595.5991	0.0001
n - ilość odcinków obl. Aw			ni - ilość kątów odcinka			Azymut wyrównany:							Błąd średni azymutu wyrównanego:

W kolumnie 1 wpisujemy drogi, którymi będzie liczony azymut węzłowy, a w kolumnie 2 numer punktu wyjściowego (nie zawsze jest to ten sam punkt). W kolumnie 3 wpisujemy ilość kątów niezbędnych do obliczenia azymutu węzłowego każdą z dróg, a w kolumnie 4 wagi każdej z dróg (czyli wagę otrzymanego tą drogą wyniku). Waga jest w tym przypadku odwrotnością ilości kątów ze współczynnikiem 10 w liczniku. Nie jest to zgodne z definicją wagi (dla przypomnienia: waga jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu błędu średniego wielkości), lecz w tym przypadku takie uproszczenie jest dopuszczalne ponieważ:

• metoda wyrównania jest przybliżona - kosztem dokładności wyników ograniczamy ilość obliczeń

• im więcej kątów użytych do obliczeń (im większe n_i), tym mniejsza waga, czyli stopień zaufania do wyniku.

W kolumnie 5 wpisuje się wartość azymutu początkowego. W naszym przypadku dla dróg V+VII oraz IV-II przyjmujemy azymut odwrotny do danego, ponieważ azymutem początkowym będzie azymut 1-1042 (zgodny z kierunkami obliczania wartości azymutu końcowego 3-4). Kolumna 6 zawiera sumy kątów w drogach, którymi liczona jest wartość azymutu węzłowego. Należy tu zwrócić szczególną uwagę na to, jakie kąty sumujemy: lewe czy prawe. Licząc azymut węzłowy boku 3-4 korzystamy z ciągów IV i II. W ciągu IV występują kąty prawe, a w ciągu -II lewe. Należy w takim przypadku przeliczyć kąty jednego z ciągów tak, aby w obu ciągach występowały takie same kąty: lewe lub prawe. W rozpatrywanym przykładzie wygodniej jest obliczyć dopełnienia kątów w ciągu IV (jest ich mniej - przeliczenia na kąty lewe wymagają tylko kąty na punktach 14 i 15).

Korzystając z przytoczonego wyżej wzoru na azymut boku końcowego obliczamy trzy wartości azymutu węzłowego 3-4. Wartości te powinny być bliskie siebie (mogą się różnić o kilka lub kilkanaście wartości błędu średniego pomiaru kąta - w zależności od ilości kątów użytych do obliczeń).

Ostateczna wartość azymutu węzłowego jest ogólną średnią arytmetyczną z trzech wartości otrzymanych trzema drogami. Można ją obliczyć bezpośrednio ze wzoru podanego w ostatnim wierszu tabeli lub zapisać w kolumnie 9 poszczególne iloczyny składowe (wartości kolumny 4 pomnożone przez wartości kolumny 7), które po zsumowaniu dzielimy przez obliczoną uprzednio sumę wag. Wartość azymutu węzłowego będzie zaokrąglona w naszym przypadku dla dalszych obliczeń do 3 cyfr dziesiętnych, ale dobrze jest znać dodatkową cyfrę dziesiętną aby skontrolować z większą dokładnością poprawność obliczenia wyrównanej wartości azymutu węzłowego (warunek [pv]=0). W kolumnie 8 wpisujemy obliczone wartości błędów pozornych (poprawek) jako różnice między azymutem wyrównanym i poszczególnymi wartościami azymutów niewyrównanych. Iloczyny błędów pozornych (poprawek) i wag wpisujemy w kolumnie 10. Suma wartości kolumny 10 powinna być równa 0 (uwzględniając błędy zaokrągleń).

Uwaga. Spełnienie warunku [pv]=0 nie jest kontrolą poprawności wyznaczenia azymutu węzłowego, a tylko poprawności obliczenia ogólnej średniej arytmetycznej. Dla losowo przejętych wartości azymutów niewyrównanych i wag suma [pv] będzie równa 0 o ile prawidłowo zrealizowany zostanie wzór na ogólną średnią arytmetyczną.

Ostatnią czynnością jest wyznaczenie błędu średniego obliczonego azymutu węzłowego. Błąd ten (błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej) należy obliczyć zgodnie ze wzorem w ostatnim wierszu tabeli.

W taki sam sposób wyznaczamy pozostałe azymuty węzłowe:

Obliczenie azymutu węzłowego 8 - 9

Nr-y ciągów		Punkt początkowy	Ilość kątów (ni)		Waga odcinka Pi=	Azymut wyjściowy Ao ° ′ ″ g c cc				Suma kątów lewych lub prawych ° ′ ″ g c cc			Niewyrównany azymut węzłowy Ai ° ′ ″ g c cc				Poprawki vi=Aw-Ai	Iloczyny Ai⋅pi	Iloczyny pi⋅vi
1		2	3		4	5				6			7				8	9	10
VI		1042	4		2.500	204		96.4		802	71.2		202		25.2		-0.0070	505.6300	-0.0175
-III		1042	6		1.667	204		96.4		997	27.8		2		24.2		0.0030	337.1374	0.0050
I+II		1042	8		1.250	4		96.4		1402	72.9		202		23.5		0.0100	252.7938	0.0125
n = 3			[pi] = 5.417			[pi](n-1) = 10.834							Sumy:					1095.5612	0.0000
n - ilość odcinków obl. Aw			ni - ilość kątów odcinka			Azymut wyrównany:							Błąd średni azymutu wyrównanego:

Obliczenie azymutu węzłowego 20 - 21

Nr-y ciągów		Punkt początkowy	Ilość kątów (ni)		Waga odcinka Pi=	Azymut wyjściowy Ao ° ′ ″ g c cc				Suma kątów lewych lub prawych ° ′ ″ g c cc			Niewyrównany azymut węzłowy Ai ° ′ ″ g c cc				Poprawki vi=Aw-Ai	Iloczyny Ai⋅pi	Iloczyny pi⋅vi
1		2	3		4	5				6			7				8	9	10
V		1042	3		3.333	204		96.4		424	24.1		380		72.3		-0.0066	1268.9498	-0.0220
VI		1026	5		2.000	198		43.5		782	27.5		380		71.0		0.0064	762.4200	0.0128
I-VII		1042	6		1.667	4		96.4		975	74.7		380		71.1		0.0054	634.6452	0.0090
n = 3			[pi]=7.000			[pi](n-1) =14.000							Sumy:					2665.0150	-0.0002
n - ilość odcinków obl. Aw			ni - ilość kątów odcinka			Azymut wyrównany:							Błąd średni azymutu wyrównanego:

Wartości azymutów węzłowych zostały obliczone jako ogólna średnia arytmetyczna z trzech, obarczonych najmniejszymi błędami, wyznaczeń. Przyjmujemy, że są wartościami najbardziej prawdopodobnymi i jako takie pozostaną wartościami ostatecznymi.

Ponieważ każdy z ciągów rozpoczyna się i kończy azymutami węzłowymi, to możemy przystąpić do wyrównania kątów. Przekształcając wzór

do postaci

możemy wyznaczyć teoretyczną sumę kątów w każdym z ciągów poligonowych, ponieważ A_n i A₀ są znanymi już i ostatecznymi azymutami węzłowymi, a składnik n ⋅180° łatwo obliczyć znając ilość kątów (należy przy tym pamiętać, że azymuty węzłowe powinny być już zaokrąglone do ½ błędu pomiaru kąta - w rozpatrywanym przypadku do 0.1^c). Mając teoretyczną sumę kątów każdego ciągu (wpisujemy ją do pierwszej tabeli w kolumnie 3 pod sumą kątów pomierzonych) można wyznaczyć odchyłkę kątową ze znanego już wzoru

oraz odchyłkę kątową maksymalną

.

Obie odchyłki wpisujemy w kolumnie 3 pierwszej tabeli. Jeśli spełniony jest warunek
, to możemy przystąpić do wyznaczenia poprawek do kątów pomierzonych stosując, wymienione podczas wyrównania pojedyńczego ciągu poligonowego, zasady:

- wszystkie kąty powinny otrzymać takie same poprawki,

- suma poprawek musi być równa odchyłce kątowej,

- najmniejsza poprawka może wynosić połowę błędu pomiaru kąta.

Jeśli postulaty I i III nie mogą być do spełnienia jednocześnie, to stosujemy się do III kosztem I. Poprawki v_i wpisujemy w kolumnie 3 nad kątami pomierzonymi. Wartości kątów wyrównanych liczymy dodając odpowiadające im poprawki do kątów pomierzonych:

.

Kąty wyrównane wpisujemy w kolumnie 4 pierwszej tabeli. Na tym zakończyliśmy etap I - wyrównanie kątów.

Etap II - wyrównanie przyrostów rozpoczynamy od obliczenia azymutów wszystkich boków poligonowych korzystając z azymutów węzłowych i wyrównanych wartości kątów

.

Dodatkową kontrolą poprawności rozrzucenia poprawek kątowych jest otrzymanie w ostatnim wyniku końcowego azymutu węzłowego. Azymuty boków wpisujemy w kolumnie 4 pierwszej tabeli. Następnie obliczamy przyrosty współrzędnych wszystkich boków korzystając z wyznaczonych właśnie azymutów i pomierzonych długości boków

Przyrosty wpisujemy w kolumnach 6 i 7 pierwszej tabeli, a sumy przyrostów w ciągach wpisujemy w tych samych kolumnach jako sumy przyrostów praktycznych [Δx]_p oraz [Δy]_p.

Kolejną czynnością jest obliczenie współrzędnych punktów węzłowych. Dla każdego z punktów węzłowych wybieramy trzy najkrótsze (o najmniejszej sumie długości boków) drogi wychodząc z punktów o znanych współrzędnych. Dla punktu węzłowego 3 w rozpatrywanym przykładzie będą to:

• ciąg I (L = 349.40 m)

• ciąg V+VII (L = 764.73 m)

• ciąg IV - II (L = 1022.67 m)

Dodając sumy przyrostów w ciągach do współrzędnych punktów wyjściowych otrzymamy trzy pary współrzędnych punktu węzłowego. Ostateczne (wyrównane) współrzędne punktu węzłowego obliczamy jako ogólną średnią arytmetyczną z otrzymanych wyników. Wagi poszczególnych niewyrównanych współrzędnych przyjmujemy jako

,

gdzie: L_i jest sumą długości boków w ciągach, które biorą udział w wyznaczaniu współrzędnych punktu węzłowego. Wzór określający wagę jest wzorem przybliżonym, zakładającym, że pomiar odległości odbywa się taśmą. Im większa suma boków, tym mniejsza waga otrzymanego wyniku. Przyjęty współczynnik w liczniku (1000) ma na celu wyeliminowanie zer z lewej strony pierwszej cyfry znaczącej.

Obliczenia współrzędnych punktów węzłowych można przeprowadzić w poniższej tabelce:

Obliczenie współrzędnych węzłowych punktu 3

Nr-y ciągów	Punkt nawią-zania	Długość ciągu Li		Waga ciągu pi		Współrzędna X			Współrzędna Y
												Współrzęd-na punktu nawiązania X0	Suma przyrostów [Δx]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Xi=X0+[Δx]i	Współrzęd-na punktu nawiązania Y0		Suma przyrostów [Δy]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Yi=Y0+[Δy]i
1	2	3		4		5	6	7	8		9	10
I	1042	349.40		2.862		1929.76	335.20	2255.96	3875.16		-16.76	3858.40
V+VII	1042	767.73		1.308		1929.76	335.15	2255.91	3875.16		-16.88	3858.28
IV-II	1042	1022.67		0.9778		1929.76	335.33	2256.09	3875.16		-16.85	3858.31
[pi] = 5.148						Współrzędna wyrównana X: 2255.972			Współrzędna wyrównana Y: 3858.352
Nr-y ciągów	vx	pivx	vy		pivy
I	0.012	0.034	-0.048		-0.137
V+VII	0.062	0.081	0.072		0.094								Średni błąd wyrównanej współrzędnej X: 0.043			Średni błąd wyrównanej współrzędnej Y: 0.038
IV-II	-0.118	-0.115	0.042		0.041
						Uwagi, rysunki robocze				Błąd średni położenia p. węzłowego 0.057
[pivx]=0.000		[pivy]=-0.002
																							Obliczył ........................................ Data ....................................... Podpis ........................................
[pivxvx]=0.019		[pivyvy]=0.015

W kolumnie 1 wpisujemy numery ciągów dla poszczególnych dróg, którymi będą liczone niewyrównane współrzędne punktu węzłowego, a w kolumnie 2 numery punktów początkowych (punktów o znanych współrzędnych - w tym przypadku będzie to punkt 1042). Sumę długości ciągów w poszczególnych drogach wpisujemy w kolumnie 3, a jej odwrotność pomnożoną przez 1000 w kolumnie 4. Współrzędne X punktów wyjściowych wpisujemy w kolumnie 5, sumy przyrostów współrzędnych Δx w kolumnie 6, a niewyrównane wartości współrzędnych węzłowych (sumy kolumn 5 i 6) w kolumnie 7. Analogicznie obliczamy niewyrównane współrzędne węzłowe Y (kolumna 10) na podstawie współrzędnych Y punktów wyjściowych (kolumna 8) i sum przyrostów współrzędnych Δy w poszczególnych drogach (kolumna 9). Ostateczne wartości współrzędnych punktu węzłowego obliczymy jako ogólne średnie arytmetyczne z trzech otrzymanych par współrzędnych:

,

Ostateczne współrzędne węzłowe będą zaokrąglone do dalszych obliczeń do dwóch cyfr dziesiętnych, ale dla wykonania kontroli poprawności wyznaczenia ogólnej średniej arytmetycznej powinno się korzystać z trzech cyfr dziesiętnych. Kontrolę tą przeprowadzamy w lewej dolnej części tabelki: obliczamy błędy pozorne (poprawki) v_i jako różnicę współrzędnej ostatecznej i współrzędnych niewyrównanych oraz iloczyny poprawek v_i i odpowiadających im wag p_i. Sumy tych iloczynów powinny być równe 0 (uwzględniając błędy zaokrągleń). Należy przy tym pamiętać, że zerowanie się tych sum nie jest kontrolą poprawności obliczenia współrzędnych węzłowych, a tylko kontrolą poprawności wyznaczenia ogólnej średniej arytmetycznej.

Obliczone współrzędne punktów węzłowych należy scharakteryzować błędami ich wyznaczenia. Współrzędne węzłowe były liczone ze wzoru na ogólną średnią arytmetyczną, więc błąd każdej z nich wyznaczany jest jako błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej.

Na podstawie błędów współrzędnych: m_X i m_Y wyznaczamy błąd położenia punktu węzłowego jako pierwiastek z sumy ich kwadratów.

Współrzędne pozostałych punktów węzłowych obliczamy w analogiczny sposób.

Obliczenie współrzędnych węzłowych punktu 8

Nr-y ciągów	Punkt nawią-zania	Długość ciągu Li		Waga ciągu pi		Współrzędna X			Współrzędna Y
												Współrzęd-na punktu nawiązania X0	Suma przyrostów [Δx]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Xi=X0+[Δx]i	Współrzęd-na punktu Nawiązania Y0		Suma przyrostów [Δy]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Yi=Y0+[Δy]i
1	2	3		4		5	6	7	8		9	10
IV	1042	388.02		2.577		1920.76	9.09	1929.85	3875.16		385.48	4260.64
-III	1042	769.17		1.300		1920.76	9.07	1929.83	3875.16		385.68	4260.84
I+II	1042	984.05		1.016		1920.76	8.96	1929.72	3875.16		385.57	4260.73
[pi] = 4.893						Współrzędna wyrównana X: 1929.818			Współrzędna wyrównana Y: 4260.712
Nr-y ciągów	vx	pivx	vy		pivy
IV	-0.032	-0.082	0.072		0.186
-III	-0.012	-0.016	-0.128		-0.166								Średni błąd wyrównanej współrzędnej X: 0.036			Średni błąd wyrównanej współrzędnej Y: 0.060
I+II	0.098	0.100	-0.018		-0.018
						Uwagi, rysunki robocze				Błąd średni położenia p. węzłowego 0.070
[pivx] = 0.002		[pivy] = 0.002
																							Obliczył ........................................... Data .......................................... Podpis ...........................................
[pivxvx] = 0.013		[pivyvy] = 0.035

Obliczenie współrzędnych węzłowych punktu 20

Nr-y ciągów	Punkt nawią-zania	Długość ciągu Li		Waga ciągu pi		Współrzędna X			Współrzędna Y
												Współrzęd-na punktu nawiązania X0	Suma przyrostów [Δx]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Xi=X0+[Δx]i	Współrzęd-na punktu nawiązania Y0		Suma przyrostów [Δy]i	Niewyrównana współrzędna punktu węzłowego Yi=Y0+[Δy]i
1	2	3		4		5	6	7	8		9	10
V	1042	239.90		4.168		1920.76	48.78	1969.54	3875.16		-234.74	3640.42
VI	1026	320.97		3.116		1734.82	234.62	1969.44	3471.30		169.11	3640.41
I-VII	1042	874.23		1.144		1920.76	48.83	1969.59	3875.16		-234.62	3640.54
[pi] = 8.428						Współrzędna wyrównana X: 1969.510			Współrzędna wyrównana Y: 3640.433
Nr-y ciągów	vx	pivx	vy		pivy
V	-0.030	-0.125	0.013		0.054
VI	0.070	0.218	0.023		0.072								Średni błąd wyrównanej współrzędnej X: 0.039			Średni błąd wyrównanej współrzędnej Y: 0.030
I-VII	-0.080	-0.092	-0.107		-0.122
						Uwagi, rysunki robocze				Błąd średni położenia p. węzłowego 0.049
[pivx] = 0.001		[pivy] = 0.004
																							Obliczył ........................................ Data ........................................... Podpis ...........................................
[pivxvx] = 0.026		[pivyvy] = 0.015

Mając współrzędne punktów węzłowych możemy wyznaczyć teoretyczne sumy przyrostów dla każdego ciągu. Ponieważ punkty węzłowe są krańcowymi punktami każdego z ciągów, więc teoretyczna suma przyrostów w każdym z nich jest równa różnicy odpowiednich współrzędnych węzłowych:

gdzie:
- współrzędne punktu początkowego ciągu

- współrzędne punktu końcowego ciągu.

Teoretyczne sumy współrzędnych w ciągach wpisujemy w kolumnach 6 i 7 pierwszej tabeli. Możemy teraz łatwo obliczyć odchyłki przyrostów w poszczególnych ciągach:

oraz odchyłkę liniową i liniową dopuszczalną:

.

Odchyłki przyrostów wpisujemy w kolumnach 6 i 7 pierwszej tabeli, podobnie postępujemy z odchyłką liniową i liniową dopuszczalną. Jeśli odchyłka liniowa jest mniejsza lub równa odchyłce dopuszczalnej, to możemy przystąpić do wyznaczenia poprawek do przyrostów współrzędnych. Poprawki te określamy zgodnie z poniższymi zasadami:

- suma poprawek do przyrostów x musi być równa odchyłce , suma poprawek do przyrostów y musi być równa odchyłce ,

- minimalna poprawka wynosi 0.01 m,

- poprawki są proporcjonalne do długości boków.

Wyznaczone poprawki wpisujemy w kolumnach 6 i 7 nad odpowiadającymi im przyrostami. Dodając do obliczonych uprzednio przyrostów współrzędnych poprawki otrzymujemy przyrosty wyrównane, które wpisujemy w kolumnach 8 i 9 pierwszej tabeli:

Ostatnią czynnością jest obliczenie współrzędnych wszystkich punktów w poszczególnych ciągach na podstawie współrzędnych punktu początkowego (węzłowego) i wyrównanych przyrostów:

Kontrolą poprawności rozrzucenia odchyłek przyrostów jest otrzymanie współrzędnych końcowego punktu ciągu, który też jest punktem węzłowym. Współrzędne te wpisujemy w tabeli w kolumnach 10 i 11.

Kolejność czynności - podsumowanie

I. Wyrównanie kątów

1. Sumowanie kątów we wszystkich ciągach poligonowych zamkniętych (oczkach), obliczenie odchyłki

kątowej i odchyłki kątowej maksymalnej.

2. Przy każdym punkcie węzłowym wybieramy jeden z boków jako bok, którego azymut będzie azymutem

węzłowym.

3. Przyjmując za azymut początkowy ciągu dany azymut główny trzema najkrótszymi (w sensie ilości

kątów niezbędnych do obliczeń) drogami wyznaczamy każdy z azymutów węzłowych.

4. Ostateczną wartością każdego z azymutów węzłowych jest ogólna średnia arytmetyczna:

gdzie: - ilość kątów uwzględnianych w obliczeniu każdego z azymutów

5. Azymuty węzłowe i azymut główny są początkowymi i końcowymi azymutami otwartych ciągów

poligonowych. Wzór na azymut boku ostatniego, gdy dany jest azymut boku pierwszego i suma kątów ma

postać:

.

Po przekształceniu otrzymujemy wzór na teoretyczną sumę kątów:

6. Sumujemy kąty w otwartch ciągach otrzymując sumę kątów pomierzonych:

.

7. Obliczenie odchyłki kątowej i odchyłki kątowej maksymalnej.

8. Rozrzucenie odchyłki kątowej dla każdego z ciągów i obliczenie wartości kątów wyrównanych.

II. Wyrównanie przyrostów

9. Obliczenie azymutów wszystkich boków.

10. Obliczenie przyrostów i dla wszystkich boków.

11. Zsumowanie przyrostów dla każdego ciągu otwartego (otrzymujemy i ).

12. Wychodząc z punktu głównego trzema drogami obliczamy współrzędne każdego punktu węzłowego.

13. Współrzędne punktów węzłowych obliczamy jako ogólną średnią arytmetyczną:

gdzie: - współrzędne punktu węzłowego obliczone każdą z dróg,

- waga każdej z dróg.

14. Obliczenie teoretycznej sumy przyrostów dla każdego ciągu otwartego:

,

15. Obliczenie odchyłek przyrostów, odchyłek liniowych i odchyłek liniowych maksymalnych.

16. Rozrzucenie odchyłek przyrostów dla wszystkich ciągów otwartych.

17. Obliczenie przyrostów wyrównanych.

18. Obliczenie współrzędnych wszystkich punktów poligonowych.

---