Politechnika Koszalińska

ITiE

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów i obrazów

FILTR

ŚRODKOWOPRZEPUSTOWY

Aproksymacja Butterwortha

Metoda transformacji biliniowej

Postać kanoniczna obserwera

Opracował:

Grzegorz Izraelski

Koszalin 2013

1. Cel zadania

Zaprojektować filtr za pomocą którego możliwe będzie testowanie niskich częstotliwości w głośnikach o różnej mocy w zakresie 20Hz- 65Hz

2. Krótki opis omawianego filtru

Filtr środkowoprzepustowy - filtr, który przepuszcza pewne pasmo częstotliwości i tłumi częstotliwości poniżej i powyżej tego pasma

Wyk. 1. Wykres przedstawiający charakterystykę filtru środkowoprzepustowego

Dla mojego filtru przyjąłem następujące gabaryty:

fs₁=20Hz

fp₁=30Hz

fp₂=50Hz

fs₂=65Hz

Rp= 3dB

Rs= 12dB

3. Po wprowadzeniu danych za pomocą odpowiedniej komendy wyznaczamy nasz rząd „n” , oraz pulsację unormowaną „Wn”

gdzie:

Wp= [2*pi*30 2*pi*50] Wp = [ 188.4956 314.1593]

Ws=[2*pi*20 2*pi*65] Ws= [ 125.6637 408.4070 ]

>>[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')

n=2

Wn= [ 185.3332 319.5198 ]

4. W celu wyznaczenia współczynników transmitancji filtru Hs skorzystałem z komendy

>>[b,a]=butter(n,Wn,'bandpass','s')

b = 1.0e+004 *[ 0 0 1.8006 0 0 ]

a = 1.0e+009 * [ 0.0000 0.0000 0.0001 0.0112 3.5067 ]

5. Następnie wyznaczamy transmitancję H(s) filtru, która jest stosunkiem transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego. Do tego służy komenda

>>Hs=tf(b,a)

1.801e004 s^2

---------------------------------------------------------

s^4 + 189.8 s^3 + 1.364e005 s^2 + 1.124e007 s + 3.507e009

6. Wyznaczamy logarytmiczną charakterystykę częstotliwościową za pomocą komendy

>>bode(Hs)

Wyk. 2. Charakterystyka amplitudowo- częstotliwościowa i fazowo- częstotliwościowa

7. Wyznaczamy zespoloną charakterystykę częstotliwościową

>>nyquist(Hs)

Wyk. 3. Zespolona charakterystyka częstotliwościowa

8. Wyznaczamy wykres rozmieszczenia zer i biegunów transmitancji H(s) za pomocą komendy

>>pzmap(Hs)

Wyk. 4. Wykres przedstawiający rozmieszczenie zer oraz biegunów transmitancji H(s)

9. Wyznaczamy wykres odpowiedzi impulsowej za pomocą komendy

>>impulse(Hs)

Wyk. 5. Wykres odpowiedzi impulsowej filtru

10. Schemat blokowy- postać kanoniczna obserwera

Na początku tworzymy postać kanoniczną kontrolera

Wyk. 6. Schemat blokowy postaci kanonicznej kontrolera

gdzie:

2.8514*10^-10

-a₁ -1.124*10⁷ b₀ 0

-a₂ -1.364*10⁵ b₁ 0

-a₃ -189.8 b₂ 1.801*10⁴

-a₄ -1 b₃ 0

b₄ 0

Przekształcamy postać kanoniczą kontrolera w postać kanoniczną obserwera zamieniając wyjście z wejściem, kierunki strzałek, oraz zamieniając węzły odczepowe na węzły sumujące i odwrotnie.

Wyk. 7. Schemat blokowy postaci kanonicznej obserwera

II. Część cyfrowa

Treść zadania:

Zaprojektować filtr za pomocą którego możliwe będzie testowanie niskich częstotliwości w głośnikach o różnej mocy w zakresie 20Hz- 65Hz. Jako że częstotliwości przenoszone przez tony niskie nie przekraczają 500Hz, gdzie częstotliwość ta została określona na podstawie wykresu idealnego filtru antyaliazingowego.

1. Częstotliwość próbkowania w myśl tzw. twierdzenia Kotielnikowa- Shannona częstotliwość próbkowania musi być nie mniejsza niż dwa razy najwyższa częstotliwość jakiej spodziewamy się w rejestrowanym sygnale.

>>fn= 2*500Hz=1000Hz

Gdzie:

σ- częstotliwość graniczna filtru antyaliazingowego

2. Definiujemy a oraz b z wzorca analogowego za pomocą

>>[bn,an]=impinvar(b,a,fn)

bn = 0.0040 -0.0000 -0.0080 -0.0000 0.0040

an =1.0000 -3.7025 5.2477 -3.3718 0.8297

3. Obliczamy czas sampling-u ze wzoru

>>Ts=1/fn

Ts =1.0000e-003

4. Obliczamy transmitancję dla filtru cyfrowego

>>Hz=tf(bn, an, Ts)

Transfer function:

0.003981 z^4 - 1.332e-015 z^3 - 0.007963 z^2 - 2.22e-015 z + 0.003981

---------------------------------------------------------------------

z^4 - 3.702 z^3 + 5.248 z^2 - 3.372 z + 0.8297

5. Wyznaczamy logarytmiczną charakterystykę częstotliwościową za pomocą komendy

>>bode(Hs)

6. Wyznaczamy zespoloną charakterystykę częstotliwościową

>>nyquist(Hs)

7. Wyznaczamy wykres rozmieszczenia zer i biegunów transmitancji H(s) za pomocą komendy

>>pzmap(Hs)

8. Wyznaczamy odpowiedź impulsową filtru cyfrowego

>>impz(bn, an, 100)

9. Schemat blokowy za pomocą komendy

>>Hd=dfilt.df2t(bn, an)

10. Odpowiedź impulsowa na pobudzenie sygnału deltą Kroneckera

>> realizemdl(Hd)

11. Schemat blokowy struktury blokowej obserwera

---