(cosϕ+isinϕ)ⁿ =cosnϕ+isinnϕ

zⁿ=|z|ⁿ ( cosnϕ+isinnϕ)

k=0,1,2,...,n-1

=

T. Bezouta

Jeżeli z₀ jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z₀ i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z₀)|p(z).

Macierze i wyznaczniki

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a_ij∈K

D. Minora :Minorem M_ij elementu a_ij macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą

T. Cramera.Jeżeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań dane wzorami:

i=1,...,n lub x=A^(-1)B

T. Kroneckera-Capelliego

Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A_b)

1.r(A)=r(A_b)=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A_b)=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A_b)-układ sprzeczny-brak rozwiązań

D. Iloczynu skalarnego

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V²→R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnożeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość tego odwzorowania na wektorach (x,y) nazywamy iloczynem skalarnym tych wektorów x°y=|x| |y| cosϕ

D. Iloczynu wektorowego

Mnożeniem wektorowym w R³ nazywamy odwzorowanie f:R³ ×R³ →R³ spełniające warunki:

1.∀a,b∈R³ a×b=--b×a

2.∀a,b,c∈R³ a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R³ (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

4. i x j =k ,j x k = i , k x i = j

D. Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę określoną wzorem: abc=a°(b×c).

1.

2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0

3. Jeśli a,b,c∈R³ a,b,c=det(a,b,c)

4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c

Kąt między płaszczyznami

Warunek prostopadłości

Warunek równoległości

Odległość punktu P₀ od płaszczyzny:

Postać krawędziowa prostej

Pęk płaszczyzn :

Równanie prostej przechodzącej prze 2 punkty A i B:

Kąt między prostymi:

Odległość punktu od prostej

Odległość dwóch prostych skośnych:

Kąt między prostą i płaszczyzną:

Warunek przecinania się 2 prostych:

Jeżeli
to proste są skośne

Powierzchnie obrotowe:

v₁(x-f₁(t))+ v₂(y-f₂(t))+ v₃(z-f₃(t))=0

(x-a₁)²+(y-a₂)² +(z-a₃)²=( f₁(t)- a₁)²+( f₂(t)- a₂)²+( f₃(t)- a₃)²

walec:

stożek: wierzchołek F(a,b,c)

T. Bolzano Weierstrassa

Każdy ciąg ograniczony ma przynajmniej jeden punkt skupienia.

T. O trzech ciągach Jeżeli ciągi a_n i c_n są zbieżne i lim a_n = lim c_n =g oraz
n E N: a_n
b_n
c_n to ciąg b_n jest zbieżny i lim b_n=g

T.Taylora Jeżeli f jest klasy C^n-1([a,b]) i f E Dⁿ(a,b) to istnieje x₀ należace do (a,b) takie, że ... f(b)=f(a)+...+1/(n-1)!f^n-1(a)(b-a)^n-1+R_n(x₀) R_n(x₀)=1/n! fⁿ (b-a)ⁿ

T. Banacha

Jeżeli F jest odwzorowaniem zwężającym przestrzeni zupełnej (A,d) w siebie, to istnieje i jest tylko jeden punkt stały a E A tego odwzorowania.

D. Heinego granicy:

Odwzorowanie F ma w punkcie p₀ E A granicę q E B jeżeli dla każdego ciągu p_n elementów zbioru A\{ p₀} zachodzi implikacja: lim p_n= p0lim F(p_n)=q

D. Cauchy'ego granicy:

Odwzorowanie F jest ciągłe w punkcie p₀ należy do A jeżeli:

odwzorowaie jest określone w p₀

istnieje granica lim F(p)

lim_p0 f(p)=f(p₀)

T. O zachowaniu nierówności w granicy:

Jeżeli funkcjonały f: A->R i g: A->R maja granice w punkcie p₀ E A i istnieje takie sąsiedztwo
punktu p₀, że:

, to

T. O trzech funkcjonałach:

Jeżeli funkcjonały f: A->R i g: A->R spełniają w pewnym sąsiedztwie
punktu p₀ warunki : to istnieje granica

T. O zachowaniu znaku przez f ciągłą

Jeżeli funkcja F->R jest ciągła w punkcie x₀ E X to prawdziwe sa implikacje

T. Bolzano Cauchy'ego

T. Weierstrassa

Jeżeli funkcja f:X->R jest ciągła na niepustym, domkniętym i ograniczonym zbiorze X zawarte w R, to osiąga w tym zbiorze swoje kresy.

Liniowość operatora pochodnej

Jeżeli funkcje f,g należą do D¹(x) to
przy czym

T. Rolla

T.Cauchy'ego

T.Lagrange'a

T. de l'Hospitala

Jeżeli f,g spełniają założenia:

1.

2.
lub

3.istnieje granica wtedy istnieje granica i zachodzi równość:

Ekstrema: warunek konieczny: jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ E I i f E D¹(I) to f'(x₀)=0

1 wystarczający: Jeżeli funkcja f(a,b)->R jest ciągła w punkcie x₀ E (a,b) oraz jest różniczkowalna w sąsiedztwie tego punktu i pochodna f' ma różne znaki w sąsiedztwach jednostronnych, to punkt x₀ jest punktem ekstremum lokalnego funkci f

2 wystarczający: : Jeżeli funkcja f(a,b)->R jest klasy Cⁿ w pewnym otoczeniu punktu x₀ (n E N, n>2) i w punkcie x₀ E (a,b) zachodzą związki: f'(x₀)=f”(x₀)=...=f^n-1(x₀)=0

i n jest liczbą parzystą to f osiąga ekstremum właściwe w punkcie x₀

f²(x)<0 max, f²(x)>0 min

T. o całkowaniu przez podstawienie:

Oznaczona: Jeżeli funkcja f:[a,b]R jest ciągła a bijekcja φ:[α,β]>[a,b] jest klasy C¹oraz φ' jest stałego znaku w przedziale [α,β] to:

Nieoznaczona: Jeżeli funkcja f:(a,b)->R jest całkowalna, a funkcja
jest klasy D¹, to funkcja
Jest całkowalna i zachodzi równość

T. O całkowaniu przez części

Oznaczona: Jeżeli f,g są klasy C¹na przedziale [a,b] to:

Nieoznaczona:

T. Riemanna

T. Główne rachunku całkowego

Jeżeli funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b] jest ciągła w punkcie x E [a,b] to funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie i

Podstawowy wzór rachunku całkowego

Jeżeli funkcja f jest ciągla w przedziale [a,b] to funkcja jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f ,wiec całka Riemanna z funkcji ciągłej na przedziale [a,b] jest równa całce oznaczonej z tej funkcji w granicach od a do b, czyli:

T. O wartości średniej rachunku całkowego

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a,b] i funkcja g ma stały znak w tym przedziale to istnieje w należące do (a,b) ze:

Całki niewłaściwe: I rodzaju: Jeżeli funkcja f:[a,8)R jest całkowalna w każdym przedziale [a,T] (T>0) i istnieje granica właściwa to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą I rodzaju.

II rodzaju: Jeżeli funkcja f [a,b) jest całkowalna w każdym przedziale [a,b-s] (0<s<b-s) oraz a istnieje granica właściwa to granice tę nazywamy całką niewłaściwą II rodzaju

Kryterium Całkowe Zbieżności szeregu

Jeżeli funkcja f:[n₀,+8)R jest dodatnia i nierosnąca w przedziale [n₀,+8) gdzie n₀ należy do N to całka
jest zbieżna wtw gdy szereg
jest zbieżny

Całki:

Postać parametryczna: x=φ(t); y=ψ(t)

Postać biegunowa: r=h(φ); y= h(φ)sin φ , x= h(φ)cosφ φ[α,β]:

Postać jawna y=f(x):

rzut prostokątny wektora a na b:

---