METODY NUMERYCZNE

Temat laboratorium: „Metoda Eulera”

1. Cel ćwiczenia

Nauka rozwiązywania równań różniczkowych przy użyciu metody Eulera
w programie MATLAB 6.5 oraz analiza dokładności tej metody.

2. Wykonanie

Należy wybrać równanie różniczkowe, krok różniczkowania, przedział, oraz warunek początkowy. Następnie dane równanie rozwiązujemy analitycznie oraz implementujemy metodę Eulera, za pomocą której znajdziemy przybliżone rozwiązanie naszego równania.

Równanie różniczkowe:

Krok różniczkowania; 0.5

Warunek początkowy: (0,1)

Przedział: (1,5)

3. Implementacja metody Eulera:

x0=0;

y0=1;

h=0.5;

a=1;

b=5;

i=1;

m=1;

n=1;

t=1;

for x=[a:h:b];

y=y0+h*(x+1)

y0=y;

q=((3.*x.^2)/2+1);

e=abs(q-y);

y

m(i)=y

n(i)=q

t(i)=e

i=i+1;

end

subplot(2,1,1)

hold on

x=[a:h:b];

plot(x,m,'b')

title('Wykres rozwiazania dokladnego( obliczonego analitycznie ) i przyblizonego obliczonego z metody Eulera')

text(3,35,'Przyblizone rozwiazanie')

plot(x,n,'g')

text(4,8,'Analityczne rozwiazanie')

hold off

subplot(2,1,2)

x=[a:h:b];

plot(x,t,'r')

grid

title('Modul bledu metody')

4. Rozwiązanie analityczne

dla warunku początkowego: (0,1)

5. Dokładności metody Eulera

Jak można wywnioskować z wykresu, błąd jest proporcjonalny co do wartości x. Wraz ze wzrostem wartości x, nasze rozwiązanie staje się bardziej niedokładne, a błąd rośnie liniowo. Dla uzyskania lepszej dokładności należy wyznaczyć mniejszą wartość kroku.

6. Wnioski

Metoda Eulera daje nam mało dokładne rozwiązanie. Aby dostać wynik z większą dokładnością należy zmniejszyć wartość kroku. Innym rozwiązaniem polepszenia dokładności jest zastosowanie interpolacji Richardsona.

Metoda ta dzieli się na ekstrapolację czynną i bierną. Ekstrapolacja czynna polega na tym, że wynik stosuje się jako wielkość wejściową w dalszych obliczeniach. Natomiast w ekstrapolacji biernej wynik uznaje się za dane wejściowe, ale nie używa się ich w dalszych obliczeniach.

Jacek Łabusiewicz

Grupa 7

---