Wydymałka notatki-bez rys i wzory do uzupełnienia przy całkach

Zginanie proste.

Dowolny przestrzenny uk�ad si� mo�na zredukowa� do jednej si�y wypadkowej i do jednej pary si�. W wytrzyma�oœci materia��w za punkt redukcji przyjmuje si� zazwyczaj œrodek 0 przekroju poprezcznego pr�ta i dzia�anie odrzuconej w myœli cz�œci pr�ta zastepujemy si�� wypadkow� W i par� si� o momencie M_o.

Wypadkow� W rozk�adamy na dwa wzajemnie prostopad�e kierunki:

- kierunek normalnej do przekroju (uk�adowa normalna N),

- kierunek styczny (sk�adowa styczna T).

R�wnie� wektor M_o rozk�adamy na dwie wzajemnie prostopad�e sk�adowe:

- sk�adowa styczna M_g , le��ca w p�aszczyŸnie przekroju poprzecznego pr�ta,

- sk�adow� normaln� M_s ,

Sk�adowa normalna M_s powoduje skr�canie pr�ta. Natomiast sk�adowa styczna M_g powoduje zginanie i nazywa si� j� momentem gn�cym w danym przekroju pr�ta.

Zginanie czyste - je�eli w danym przekroju uk�adu si� zewn�trznych sprowadza si� do jednej sk�adowej M_g .

Zginanie z udzia�em si� poprzecznych - przy zginaniu czystym wyst�puje r�wnoczeœnie si�a tn�ca T.

Zginanie proste (p�askie) - wyst�puje, gdy si�a tn�ca (poprzeczna) T oraz para si� powoduj�ca zginanie preta dzia�ania w jednej plastycznie zawierajacej osie g��wne centralne przekroj�w poprzecznych pr�ta.

Je�eli si�y czynne (obci��enia) dzia�aj�ce na pr�t zginany le�a w jednej p�aszczyŸnie, to p�aszczyzn� t� nazywamy p�aszczyzn� zginan�.

Rozwa�aj�c uk�ad si� dzia�aj�cy w jednej p�aszczyŸnie zawieraj�cej oœ belki, mo�na przedstawi� definicje si� normalnych N, si� tn�cych T i moment�w gn�cych M_g :

- si�� normaln� N w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej, wypadkowej wszystkich si� zewn�trznych dzia�aj�cych na cz�œ� belki odci�tej tym przekrojem.

Si�a normalna N b�dzie dodatnia, je�eli ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewn�trznej danego przekroju belki.

DEFINICJE SI� NORMALNYCH, SI� TNACYCH I MOMENT�W GN�CYCH

Si�a tn�ca T w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na p�aszczyzn� tego przekroju wypadkowej wszystkich si� zewn�trznych dzialaj�cych na cz�œ� belki odciet� tym przekrojem.

Si�a tn�ca T b�dzie dodatnia, je�eli na wyci�ty w myœli element belki si�a ta b�dzie si� stara�a obr�ci� zgodnie z ruchem wskaz�wek zegara.

Moment gn�cy M_g w danym przekroju belki nazywamy sum� moment�w (wzgl�dem œrodka ci�koœci tego przekroju) wszystkich si� zewn�trznych dzia�aj�cych na cz�œc belki odci�t� tym przekrojem.

Moment tn�cy M_g bedzie dodatni, e�eli wyci�ty w myœli element belki stara si� wygi�� wypuk�oœci� do do�u.

BELKA PODDANA CZYSTEMU ZGINANIU

Zginanie czyste mo�na zaobserwowa� w przypadku zginania belki pryzmatycznej obci��onej. Cz�œ� CD tej belki jest obci��ona tylko momentem gnacym. Sia tn�ca w tej cz�œci belki r�wna jest zeru belka poddana jest zginaniu czystemu (M_g =const, T=0).

Na pryzmatycznym pr�cie o przekroju prostok�tnym na jego powierzchni bocznej narysujemy siatk� utworzon� z linii r�wnoleg�ych do osi pr�ta oraz linii obwodowych le��cych w plaszczyznach przekroj�w poprzecznych pr�ta.

OBSERWACJE I HIPOTEZY

Analiza cz�œci CD belki po odkszta�ceniu pozwala na sformu�owanie nastepuj�cych spostrzeze�:

1. Krzywizna belki na odcinku CD jest sta�a i belka wygina si� w kszta�t ko�a.

2. W tych warunkach p�askie przekroje prostopad�e do osi belki przed odkszta�ceniem pozostaj� p�askie i prostopad�e do do zakrzywionej po odkszta�ceniu osi belki (hipoteza p�askich przekroj�w). Przekroje te ulegaj� zatem wzgl�dnemu obrotowi.

3. Wskutek obrotu przekroj�w wzd�uzne elementy belki (w��kna) doznaja odkszta�ce�.

4. Przyjmujemy za�o�enie o braku nacisk�w w��kien na siebie (barak napr�e� w kierunku prostopad�ym do osi belki), a wi�c jednoosiowy stan napre�enia.

5. W takich warunkach w��kna doznaj� tylko rozci�gania lub sciskania (cz�œ� w��kien ulega wyd�u�aniu, a cz�œ� skr�ceniu).

6. Miedzy tymi w��knami musi by� warstwa, kt�ra nie ulega ani wyd�u�eniu, ani skr�ceniu

- warstwa oboj�tna- kt�rej wyd�u�enia si� r�wne zeru.

ANALIZA NAPRʯE� W PR�CIE ZGINANYM

Warunki geometryczne

Przetnijmy p�aszczyzn� a,b,c,d i a',b',c',d' pr�t przedstawiony na rys. i wyodr�bnijmy przekroje b-d oraz b'-d' o d�ugoœci ds i rozpatrzymy jego zachowanie si� po obci��eniu.

Odkszta�cenie w��kna e-e' o pocz�tkowej d�ugo�ci ds, le��cego w odleg�oœci z od warstwy oboj�tnej mozna wyzanczy� z zale�noœci : ds' =(�+h)d� , ds = �*d�.

Wyd�u�onie w�aœciwe w przyj�tych wczeœniej warunkach jednoosiowego rozci�gania wyra�a si� wzorem: � = (ds' - ds)/ ds =

((�+z)d� - �*d�) / �*d�= z / �

Zwi�zki fizyczne

Zak�adamy jednoosobowy stan napr�zenia jak r�wniez to, ze napr�enia mieszcz� si� w zakresie propocjonalnoœci. Dla tych warunk�w mozemy wykorzysta� prawo Kooke'a dla jednoosiowego rozci�gania. Po uwzgl�dnieniu zale�noœci (3) przyjmuje ono posta�:

� = E� = E*z / � .

W przypadku w�okna œciskanego odkszta�cenia � jest ujemne i powy�szy wz�r np. dla w��kna f-f ' przyjmie posta�: � = - E*z / � .

Z zale�noœci (4) i (5) wynika, ze napre�enia s� proporcjonalne do odleg�oœci od osi oboj�tnej i jednakowe w ca�ej szerokoœci belki.

Warunki r�wnowagi

Przetnijmy w myœli cz�œ� belki CD poddan� czystemu zginaniu przekrojem poprzecznym i po odrzuceniu np. lewej cz�œci poka�� si� si�y wewn�trzne.

Rozpatrzymy warunki r�wnowagi elementu:

�X = ? �* dA=?(E*z / �)*dA=E/�?z*dA=0.

Modu� Younga E i promie� krzywizny � s� r�ne od zera, to: ?z*dA=0.

Mamy trzy warunki: �Y=0, �Z=0, �M_x=0.

Rozpatrzamy nast�puj�cy wizerunek:

�M_y=M_g - ?dM =0.

Z rys. 10 wynika, �e: dM=z*� dA.

Z r�wna� otrzymamy:

M_g=?�* dA=?(E / �)*z² * dA= E/�?z² *dA.

Uwzgledniaj�c, �e: ?z² *dA= I_y , gdzie:

I_y - momentem bezwzgl�dnoœci.

R�wnanie mo�na napisa� w postaci:

M_g=E*I_y / � , lub 1/�= M_g / E*I_{y ,}gdzie EI_y - sztywnoœ� zginania.

Podstawiaj�c zale�noœ� 16 do prawa Hooke'a, dla w��kna rozci�ganego 4 otrzymamy zale�noœ� napr�enia od obci�zenia i geometrii przekroju poprzecznego belki: �= (M_g/ I_y)*z.

Ostatni warunek r�wnowagi:�M_g= ?y*� dA=

? ((E*z*y) /�)dA=E/�?y*z dA=0.

Poniewa� modu� Younga E oraz promie� krzywizny � s� r�ne od zera, to: ?y*z dA=0.

Jest to moment zboczenia (dewiacji) przekroju poprzecznego wzgledem osi y oraz z, (g��wne osie bezw�adnoœci przekroju poprzecznego): D_yz=?y*z dA=0.

Osie uk�adu wsp�rz�dnych x,y,z s� g��wnymi centralnymi osiami bezw�adnoœci belki zginanej.

Podzielmy moment bezw�adnoœci I_y przez odleg�oœ� od w��kien skrajnych ?z_max?, otrzymamy:

W_y= I_y / ?z_max? jest to wskaŸnik wytrzyma�oœci na zginanie.

WskaŸnik wytrzyma�oœci na zginanie dla przekroju:

-ko�owego: W_y= �d³ / 32

-prostok�tnego: W_y = b*h² / 6

WARUNEK WYTRZYMA�OŒCI NA ZGINANIE

Wiadomo, ze napr�enia w pr�cie zginanym s� najwi�ksze we w��knach skrajnych. Na podstawie tej zale�noœci mo�emy napisa� warunek wytrzyma�oœci na zginanie w warunkach czystego zginania:

�_max=M_g/W_y ? �_dop

Warunek ten mo�na r�wniez stosowa� w belkach zginanych si�ami poprzecznymi, ale tylko wtedy, kiedy w przekroju poprzecznym wystepuje maksymalny moment gn�cy M_gmax :

�_max=M_{g max}/W_y ? �_{dop ,}w pozosta�ych przekrojach materia� nie jest w pe�ni wykorzystany.

BELKI O R�WNEJ WYTRZYMA�OŒCI

Je�eli potrafimy tak zaprojektowa� belk�, aby w ka�dym jej przekroju napr�enia maksymalne by�y r�wne napre�eniom dopuszczalnym, to m�wimy, �e jest to belka o r�wnej wytrzyma�oœci.

Warunek wytrzyma�oœci belki o sta�ej wytrzyma�oœci na zginanie w ka�dym przekroju okreœlonym wsp�edn� x ma posta�:

�=M_g(x)/W_y(x)= �_dop.

Z zale�noœci 24 mo�na wyznaczy� wymiary belki:

-dla belki o przekroju ko�owym :

W(x)=�*d³(x) / 32 , a wi�c

d(x)=?32M_g(x)/ ��_dop

- dla belki o przekroju prostok�tnym (o zmiennej wysokoœci h): W(x)=b*h²(x) / 6,

a wi�c d(x)=?6M_g(x)/ b�_{dop .}

LINIA UGI�CIA BELKI

Linia ugi�cia belki pokrywa si� z jej warstw� oboj�tn�, a wi�c r�wnanie linii ugi�cia mo�na zapisa�: 1/�= M_g (x)/ E*I_{y .}

Obieraj�c jako os odci�tych nieodkszta�cona oœ belki, wyznaczymy posta� linii ugi�cia przez wyznaczenie rz�dnych w(x) tej osi.

Krzywizna 1/� linii w(x) wynosi:

1/�=(d²w / dx²) / [1+(dw /dx)²]^3/2

Odkszta�cenia powinny si� mieœci w zakresie proporcjonalnoœci, dlatego: (dw/dx)² << 1.

Stad r�wnanie r�niczkowe linii ugi�cia belki przybierze posta�: d²w/dx²= M_g(x)/ E*I_y.

Ca�kuj�c r�wnanie 32 wzgl�dem zmiennej x uzyskujemy zale�noœ� s�u��c� do wyznaczenia k�ta ugi�cia � w postaci:

�= dw/dx=?(M_g(x)/E*I_y)dx+C.

R�wnanie ugi�cia belki uzyskujemy po powt�rnym ca�kowaniu wzgl�dem zmiennej x:

w=?� dx+D.

Sta�e ca�kowania C i D wyznaczymy z warunk�w granicznych.

Mamy dwa rodzaje tych warunk�w i wynikaj� one z :

- sztywnoœci podp�r (warunki brzegowe),

- ci�g�oœci belki (warunki ci�g�oœci).

Wyszukiwarka