00098506

300

jest dziedziną funkcji, której wykres przedstawia linie sU. Fakt ten ma prat* rozpatrywana przegroda stanowi cci wyładowań at« nych, które nastąpią w przestrzeni miedzy płaszczyznami * — 0 i x - 2* (por. rj Powróćmy do warunku (BŁ10*}. Jeżeli C> h, to dziedziną odpowiedniej (HLI07) jest suma dwóch przedziałów, mianowicie

(a-C, a-    v (n+ ^C^A*. a+c)

Unie sS na rys. HL30 dla C — 2 dotyaą tego wialnie przypadku.

Badając pochodną funkcji (UI.107) mokną się przekonać, te linie sil d0<_ do ziemi i do przegrody prostopadle Wyjątek stanowi tu linia łffH na (C= A), które dąży do punktu (a, 0) pod kątem 45°wigk‘

ma dwie jednostronne asymptoty pionowe o ró x — a-C oraz x - a+C    ;j

Jeieli A— 0+ (przypadek A < O, to zbiór (UI.109) degeneruje sń do dwóch ? a—C i a+C, co ma zrozumiałą interpretacją fizyczną, gdy porównamy rys. HL28 z

Powróćmy z kolei do funkcji (HI.104). Wiemy, że Unie Rew™ oonst są liniami sB, tff linie Im » = const są liniami stałego potencjału badanego pala elektrostatycznego. Funlujs * fj

F(z) -

jeat wi(c potencjałem ztspobnym tego pola (por. (CL56)). Korzystając a

E-

V^(r-a)'VA>

Zauważmy, że gdy z->- a+Jh, a więc gdy z dąży do punktu na krawędzi przegrody, to W pola £ wzrasta nieograniczonie. Jeat to tzw. efekt ostrza. Wystgjuje oo często w płaski' elektrostatycznym w tych punktach brzegowych, które są punktami kątowymi o kątach w Koniec odcinka jest punktem kątowym kąta pełnego; jest to przypadek zdegenerowany^ zauważyć, że punkt o+/A jest jedynym punktem brzegowym, w sąsiedztwie którego pole (F

Z kolei zauważmy, że gdy z-* a, to natężenie (UI.l 10) badanego pola dąży do ze tzw. efekt kąta wypukłego, który często występuję w płaskim polu elektrostatycznym w tych pu brzegowych, które są punktami kątowymi o kątach wypukłych. Punkt o jest punktem kl („dwustronnym") o kącie prostym. Itonkt, w którym występuje tego rodzaju efekt, t" niekiedy punkiem stagnacji, punktem martwym lub punkiem ciszy —w ztkżnoóci od Inl fizycznej. Łatwo się przekonać, że punkt z- a jest jedynym punktem stagnacji rozpatry pola.

Na zakończenie tego przykładu zauważmy, że gdy moduł |z| jest dostatecznie duży, toZBl na wzór (ULI 10)

Fakt ten jest fizycznie zrozumiały, gdyż wartość graniczna do której dąży wektor |z|-* +co, odpowiada polu równortricmemu. do którego upodabnia się badane pole, gdy my się od zaburzającej tę równomierność przegrody.

Omówiony przykład jest reprezentatywny dla metody odwzorowań itonfofl nych. Przykład ten ma równic przejrzystą interpretacje hydr orne¹ ni cz ną. Linie y — const na rys. IH.28-można mianowicie uważać za linie

cieczy nieściśliwej płynącej nad płaszczyzną. Linie 9tałego potencjału na rys. 111.30 można wówczas interpretować jako linie prądu cieczy płynącej nad płaszczyzną i opływającą ustawioną na tej płaszczyźnie przegrodę. Nie wdając się w szczegółową analizę tej interpretacji wspomnimy tylko, że rolę analogiczną do natężenia pola E w elektrostatyce spełnia tu wektor prędkości cieczy. Dla tego wektora występują także: efekt ostrza oraz efekt kąta wypukłego, których fizycznego znaczenia łatwo się domyśleć, choćby na podstawie rys. m.30, Jest na przykład sprawą dość oczywistą, że prędkość cieczy w sąsiedztwie wierzchołka przegrody będzie wielka, natomiast w sąsiedztwie podstawy tej przegrody — bliska zeru.

Interpretacja hydromechaniczna przykładu pola z przegrodą, który rozważaliśmy szczegółowo jako przykład z elektrostatyki, nie wyczerpuje interpretacji fizycznych, które można z nim kojarzyć. Kolejną interpretację może stanowić pole temperatur rozciągające się nad płaszczyzną znajdującą się w pewnej stałej temperaturze oraz to samo zagadnienie z wprowadzoną przegrodą, której temperatura jest taka sama jak płaszczyzny. Linie y = const na rys. 113.28 oraz linie t> =-const na rys. 111.30 są wówczas izotermami, czyli liniami stałej temperatury. Linie x = = const oraz linie u = const są natomiast liniami przepływu ciepła, czyli liniami pola wektorowego gradientu temperatury.

Wspólną cechą tych trzech, na pozór różnych interpretacji fizycznych: elektrostatycznej, hydromechanicznej i termostatycznej, jest potencjalnołć odpowiednich płaskich pól wektorowych. Nawiązując do przykładu pola z przegrodą zauważmy, ic funkcja holomorficzna (III. 104) odwzorowuje takie pola na inne, ale także potencjalne. Ta nitzmiemiczoii potencjalności pola względem odwzorowania (III. 104) wynika z następującego ważnego twierdzenia.

Tw. Harmmicznoii funkcji w obszarze Jest niezmiennikiem odwzorowań jednokrotnych i holomorficznych (a więc konforemnych).

DOWÓD. Przypuśćmy, że funkcja U(x, y) jest harmoniczna w obszarze D, a więc jest w nim klasy C^a i spełnia równanie

Ar* dy*

0

przypuśćmy następnie, że funkcja w =/(z) odwzorowuje jednokrotnie i holomorficznie obszar D na D\ W obszarze £>' jest zatem określona funkcja

przy czym *(w) = x(u, v)+j>iu, o) jest funkcją odwrotną do /(z), a więc jednokrotną, holomorficzną i o nie znikającej w obszarze D' pochodnej. Natóy wykazać, że funkcja V(u, t>) jest harmoniczna w obszarze D". W tym celu przeprowadzimy następujący rachunek

6V__ dU dx bV dy

dV. _ dU Ar dU 6y óu 6x Cu - dy 6u

a^łK

d«*

d^tV

d**

60 a?x 6U 6’y I ix du* ⁺ dj> da*