0041

42

I. Teoria granic

Weźmy liczbę M'>\a\ tak, że —M'<a<M' i przyjmijmy p=-M', a q — M'. Znajdziemy taki wskaźnik N, że dla n>N jest

— M'<x_n<M', czyli |x_n|<M'.

Nierówność ta jest z pewnością spełniona przy n=N+1, N+2, •••, czyli może jej nie spełniać tylko N pierwszych wyrazów ciągu (lub niektóre z nich).

Dlatego, jeżeli przyjmiemy za M największą z liczb

|xi|, |x₂|, ..., \x_N\,M',

to już dla wszystkich wyrazów x_n mamy |x_n|<M, o.co chodziło.

Uwaga I. Można podać równoważną definicję ograniczoności ciągu, żądając by była spełniona nierówność

k^x„^g (n = 1,2,3, ...) ,

gdzie k i g są dwiema liczbami. Rzeczywiście, z tych nierówności, jeżeli przyjmiemy za M większą z liczb k, g, wynika [x„| < M\ odwrotnie, jeżeli ma miejsce ostatnia nierówność, to można ją zapisać w postaci —M^x_n^M, czyli — M gra rolę k, a M — rolę g.

Uwaga II. Twierdzenia 4° nie można odwrócić: nie każdy ciąg ograniczony ma granicę. Jeżeli przyjmiemy np. x„=( — 1)'^I+1, to otrzymujemy oczywiście ciąg ograniczony: |jcJ < 1, ale nie mający granicy, jako oscylujący pomiędzy +1 i -1.

Na zakończenie, opierając się na tezie twierdzenia 1°, udowodnimy jednoznaczność granicy:

5° Ciąg {*„} nie może mieć jednocześnie dwóch różnych granic.

Rzeczywiście, przypuśćmy, że jest przeciwnie: niech równocześnie x_n~*a i    przy

czym a<b. Obierzmy dowolną liczbę r pomiędzy a i b:

a<r<b .

Ponieważ x„-*a i a<r, znajdziemy taki wskaźnik N', że dla n>N' będzie spełniona nierówność: x_n<r. Z drugiej strony, ponieważ x_n-+b i b>r, więc istnieje również taki wskaźnik N”, że dla n>N" jest x_n>r. Jeśli obierzemy wskaźnik n większy od N' i N", to odpowiedni wyraz x_n powinien być jednocześnie mniejszy od r, i większy od r, co nie jest możliwe.

Otrzymana sprzeczność wskazuje na prawdziwość twierdzenia.

27. Granice nieskończone. Niekiedy, szczególnie w literaturze radzieckiej, ciągom zbieżnym do zera (nieskończenie małym) przeciwstawia się też w pewnym sensie ciągi rozbieżne do + oo, lub — oo (lub bezwzględnie rozbieżne do +oo), tzw. nieskończenie duże.

Mówimy, że ciąg {x„} ma granicę +oo (—oo) albo że wyrazy ciągu dążą do +oo (-oo), jeżeli dla dowolnie dużej z góry danej liczby E>0 począwszy od pewnego miejsca wyrazy x_n są większe od E (mniejsze od —E), tzn. jeśli dla dowolnej liczby E>0 istnieje