0053

54

I. Teoria granic

8) Niech danych będzie m liczb dodatnich

a_t, a₂,    , a_m.

Oznaczając przez A największą z nich pokazać, że

lim Ja" -ł-a" r... ral=-A .

Wniosek ten wynika z oczywistych nierówności

A < ^a'! -ł-o" +... +a"_m< A Jm

(por. ustęp 25, przykład 5).

9) Widzieliśmy w ustępie 27, że przy a> 1 potęga a”->-t-oc. Zbadamy teraz zachowanie się ilorazu

n

a n■*

(przy Jt>0), przedstawiającego wyrażenie nieoznaczone postaci co/oo.

Ustalmy jedną nierówność pomocniczą (por. nierówność Bernoulliego w ustępie 19). Przyjmując u=l+A przy A>0 mamy ze wzoru na dwumian Newtona:

■    „    »(b- 1) i    «(« — 1) ,

a"=(1 + Xf = 1 +    + ~    - /l² +... > - --— X².

Ponieważ dla n> 2 jest oczywiście n - 1 > ^ n. to

- (a-l)²

Przy k= 1, otrzymujemy od razu

a (a 1)

— > — n, n 4

czyli

lim —= -f cc . n

Ponieważ wynik ten zachodzi dla każdego a> 1, to biorąc k > 1, możemy napisać (co najmniej dla dostatecznie dużych n), że

r«]

skąd

lim—j= + ao    (a>l).

n

Udowodniony tą drogą wynik przy k> 1 jest tym bardziej słuszny dla k< 1.

10) Tą samą nierównością (3) można się posłużyć, żeby stwierdzić, że

lim ^jn — 1.

Podstawiając mianowicie w tej nierówności a = "Jn, otrzymujemy

O²-