0111

112

II. Funkcje jednej zmiennej

To kończy dowód naszego twierdzenia, należy bowiem tylko przy a skończonym przyjąć x'=a—ó (tj. S=a—x'), a przy a=+ oo dobrać A—x\

Jeżeli funkcja f (x) nie jest ograniczona z góry, to dla dowolnej liczby E znajdziemy takie x\ że f(x’)>E; wówczas dla x>x' mamy również f(x)>E, itd.

Pozostawimy czytelnikowi zmianę twierdzenia i dowodu na przypadek, gdy punkt skupienia a jest mniejszy niż wszystkie x oraz na przypadek funkcji monofonicznie malejącej.

Łatwo zauważyć, że twierdzenie o ciągu monofonicznym z ustępu 34 jest po prostu przypadkiem szczególnym tego twierdzenia. Zmienną niezależną był tam wskaźnik n, obszarem zmienności zbiór liczb naturalnych {«} o punkcie skupienia +oo.

W dalszym ciągu najczęściej jako obszar SE, w którym rozważa się funkcję/(x), wystąpi przedział półotwarty (a, a), gdzie a’<a oraz a jest liczbą skończoną lub +00, albo przedział (a, a'), gdzie a'> a oraz a jest liczbą skończoną lub —00.

58. Ogólne kryterium Bolzano-Cauchy’ego. Przejdziemy teraz do rozważania ogólnego przypadku — funkcji / (jc) określonej w obszarze SE = {x}, dla którego a jest punktem skupienia. Można sformułować takie samo kryterium istnienia skończonej granicy tej funkcji, gdy x-*a, jak w przypadku ciągu [39]. Sformułowanie tego kryterium podamy jednocześnie dla przypadku skończonego a i dla przypadku a= +00.

Twierdzenie. Na to, żeby funkcja f(x) przy x dążącym dc a miała skończoną granicę, potrzeba i wystarcza, żeby dla każdej liczby e>0 istniała taka liczba <5>0 (A>0), żeby nierówność

\f(x)-f(x')\<e

była spełniona, jeżeli tylko

|x —a|<<5    oraz |jc'—a|<<5    (x>A    oraz x'>A).

Dowód przeprowadzimy przy założeniu, że a jest liczbą skończoną.

Konieczność. Niech istnieje skończona granica

\mf(x)=A.

x~*u

Wówczas dla danej liczby e>0 istnieje takie <5>0, że

| f(x)-A\<±e,

jeżeli tylko jest |x—a\<3. Niech również będzie \x'—a\<S, skąd

\A-f(x')\<ie.

Otrzymujemy stąd

| f(x) -/(x')| = |[/(x) -A] + [A -/(x')] j < | /(x) -A\ + \A -f(x) | <e, przy założeniu, że jednocześnie

|x — a\<6 oraz    |x' — a|<ó.