0239

240

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

6) Przede wszystkim nierówność (3a) można rozszerzyć na przypadek dowolnej liczby mnożonych przez siebie potęg. Przejścia od dwóch czynników do trzech dokonuje się przez dwukrotne zastosowanie nierówności (3a):

n“ó*c^T s= a(b^,li>+łV^/w+1))^,+y<aa+(0+y) b^,l(>* ^,)c^v/<<’^+v)<

<ao + (/ł+y)    *> + -/— c\=aa+0b-ryc ,

\P+7 P+y }

a więc ostatecznie

a^,b⁰c^y <aa+0b+yc (a, b, c,a,fl, y>0, tx+fi+y = l).

Analogicznie można by dokonać przejścia od n czynników do n+1 i udowodnić metodą indukcji matematycznej ogólną nierówność, która (przy zmienionych oznaczeniach) ma postać

a?al²...ai'<qia_l + qiai + ... + q_ma,    (o_lt .... a., q_lt .... ?,>0, q₁ + ...+q. = l).

Zamiast q, można wprowadzić dowolne liczby dodatnie p,, przyjmując <?,=/>,/ ]Tpj> tak że suma £<?, = 1. Nierówność przybiera wówczas postać    ¹

(4)

^+/>2 °^{2 +} " ^+jP" * _(fl| Pi +Pi + — +Pn

On, Pl, -,Pn> 0).

Dla pi =P2 = ---=Pn=l otrzymujemy nierówność

<4a)

O}... On

Ol +02 +... + 0i,

II

która orzeka, że średnia geometryczna skończonego układu liczb dodatnich nie przekracza średniej arytmetycznej. Tak więc nierówność (4) jest naturalnym uogólnieniem tego klasycznego twierdzenia.

7) Przejdziemy teraz do dowodu tak zwanej nierówności Cauchy'ego-H8ldera

(5)    i>*<<{Ź^ai}^1/‘{Ź*<‘'}^,/‘'    r+r;^=,V

Im 1    1-1    1    \    k k J

Cauchy udowodnił tę nierówność w przypadku szczególnym k>=*k'~2 «a)    i«^b'<jiaijibl.

1=1    V 1-1 V la 1

Załóżmy najpierw, że

(6)    Y_af=£tf' = l,

i-i i-i

a więc nierówność podlegająca dowodowi ma postać

YjOibi<l . i-i

Podstawmy do nierówności (3b) kolejno 0=01, b = b, (1= 1, 2,.... n) i zsumujmy wszystkie otrzymane nierówności. Uwzględniając warunek (6), otrzymamy żądany wynik.

Przypadek ogólny sprowadza się do rozpatrzonego już przypadku szczególnego przez wprowadzenie zamiast liczb a, i b, liczb

Ot b_t