024 025

24 Piotr Sajpei, Krzysztof Stroiński

= __ł_(o_ !) = _!_

s+a    s+a

całka jest określona dla s spełniającego warunek Re ($ + or)>0 ponieważ

lim<r^(s+“^),=0

Zadanie 2

s²+1

Wyznaczyć oryginał funkcji y(s) =    ■-r .

s(s + l)(s-2)

Znajdujemy miejsca zerowe mianownika: S] =0, s₂ = -k s₃ - 2.

j(j)=

A

s

^A2 _| A

s+1    s-2

4**)

M'{s_k)

A/'^) = (s + l)(s -2) + s(s- 2)+ 5(5 +1)

,    )    1

A-> —

+ =

L(s₂)    2

M'{s₂)~ 3

4*3)    5

M'(sj) 6

y(s) =

_ 2

5+1    5-2

korzystając z tabeli 1.1

Zadanie 3

Rozwiązać równanie 2x" + 3jc' + x - 4 dla warunków x(0)- 1, jc'(0) = 1. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a do obliczenia drugiej pochod

*²f(‘)

dt²

nej L

= i F(s) - s/₍₀₎ - /₍'₀₎ otrzymamy:

i    4

25^x(5) -25-2-1- 35x(s) - 3 + jc(s) = —

5

z(s) = (2i² +3s + l) = j + 2i + 5

jc(s) — (25³ + 35² + sj — 4 + 2s² + 55

2s² + 55 + 4    5² + 2,55 + 2

^X\S) = —;-5-r ........

25³ + 35 ² + 5 5^ + 1,Ó5² + 0,55

miejsca zerowe mianownika: 5_t =0, s₂ = -1,

x(s) =

^A\ , ^A2 5    5 + 1

+

5₃ =-0,5 ^A3

5 + 0,5

^A\ ~ ^A2 =

^3 =

4»l)    2

M’(s,)    0,5¹

%)    0,5

M’{s₂)    0,5

M'(5₃)    ^

5    5 + 1

x(s) =

4    1

4

5 + 0,5

x(t) = 4 + e~^t -4e~°'^5t