0493

494

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Jeżeli dla x=x₀ wstawimy wszędzie w tych równaniach zamiast g(x₀), g'(x₀).....

g^<n)(xo) odpowiednio /(x₀),/'(x₀), ...,f⁽ⁿ⁾(x₀), to otrzymamy równania

G(x₀,f(x ₀))=0,

G'_x(x₀, f(x₀))+G;(x₀ , f(x₀))f'(x p)=0, +2G"/'(x₀)+g;₂[/'(x₀)]²+g;/"(x₀)=o ,

G⁽;J + ... + G’_yf^\xo)=0,

które są całkowicie równoważne warunkom (13).

Aby równaniom tym nadać bardziej przejrzystą formę, wprowadzimy oznaczenie

(16)    <P(x)=G(x,/(x)).

Możemy je teraz napisać w postaci

(17)    4Kx_o)=0,    Ś>'(x₀)=0,    ....    0^<B)(x_o)=O.

Jeżeli więc w punkcie o odciętej x₀ spełnione są równania (17), to krzywa (15) ma z krzywą y =/(x) styczność rzędu nie mniejszego niż n.

Nietrudno dostrzec, że rząd styczności jest dokładnie równy n, gdy oprócz tego

(18)    0^(B+1)(x_o)#O.

243. Krzywa ściśle styczna. Załóżmy teraz, że dana jest nie jedna krzywa (15), lecz (n+l)-parametrowa rodzina krzywych

n+ 1

(19)    G(x, y,a,b...../)=0.

Naturalne jest teraz pytanie, czy można dobierając odpowiednie wartości parametrów wybrać z tej rodziny taką krzywą, która by miała z daną krzywą y=f(x) w danym jej punkcie M₀(x₀, / (x₀)) najwyższy rząd styczności spośród wszystkich krzywych rodziny.

Krzywą taką nazywa się ściśle styczną do danej krzywej w punkcie M₀. Ściślej należałoby powiedzieć: krzywa ściśle styczna spośród krzywych danej rodziny, bo dla jednej, oddzielnie wziętej krzywej (15), termin ten nie ma sensu.

Dla znalezienia krzywej ściśle stycznej wprowadźmy oznaczenia analogiczne do (16):

#(x, a, b, ..., /)=G(x,/(x), a, b,...,/)

i napiszmy warunki analogiczne do (17):

(20)    <P(x₀, a, b, ..., /)=0,    $’_x(x₀, a, b,.0..... ^_Xn(x₀, a, b,..., /)=0.

Otrzymaliśmy układ n+1 równań o n+\ niewiadomych a, b, ..., I. Ten układ równań zazwyczaj określa jednoznacznie układ wartości parametrów i w ten sposób znajdujemy krzywą ściśle styczną mającą rząd styczności nie niższy niż n.