10

i 02

Vf. Pochodne funkcji postaci >•—/(*)

i ostatecznie

,    3-x

¹

Zadanie 6.1S. Obliczyć pochodną funkcji y-=xyfx² + l. Rozwiązanie. Stosujemy wzór (6.1.5) na pochodną iloczynu:

y = (a)' \x^z ±l+x(yjx^x U)'.

Ponieważ

(X)-1,    {'Jx‘ +!)' =

!>/x^FV

-.■2x —•

v'x*-rl

więc

2*² 11 '/x^T+i

y = v x^z t 1 -f-

Zadanie 6.19. Obliczyć pochodną funkcji y-4* arctgx.

Rozwiązanie. Funkcja ta jest określona dla wszystkich wartości x. Obliczamy pochodną funkcji jako iloczynu y=w stosując wzory na pochodne funkcji u - 4* oraz i>= -arctgx:

Zadanie 6.20. Obliczyć pochodną funkcji y-.v*, x>0.

Rozwiązanie. Ponieważ e'^nx — x, więc x*~e^xUx. Pochodną funkcji >^, = e^v|nX obliczamy według wzoru na pochodną funkcji złożonej:

Ostatecznie więc mamy

.}■' - x^r(In x +1).

Zadanie 6.21. Obliczyć pochodną funkcji y=(sinx)''^ł" w przedziale 0<x< J-.

Rozwiązanie. Ponieważ c'"^v =u, wiec sinx-e'"”" ^v. Podnosimy obie strony do potęgi tg x i otrzymujemy

y — (sin x)^{lg v} =e^etxlr *“ *.

Jest to funkcja postaci «/^<r1, a jej pochodna równa się c^/,x>f(x). Pamiętając, że w tym przykładzie wykładnik j«t iloczynem, z łatwością otrzymujemy

/ = e'*^{x ln ,in} * f ■ 4— ln sin x - tg x    cos x

I cos* x    sin x