2007 02 02 30 4166

*Nr*indeksu*

*Imię*NAZWISKO*

RP & SM - egzamin 2.2.2007

Tylko na tej stronie w zaznaczonych polach! Brudnopis tylko na odwrocie (nie będzie oceniany)! Bez notatek! Czas 50 minut! Punktacja pytań jednakowa!

Wyniki w przyszłym tygodniu! Indeksy zaraz po egzaminie do pok. 147 —bez indeksu nie ma oceny!

1. Nagroda ukryta jest w jednej z trzech zasłoniętych bramek. Uczestnik teleturnieju wybiera jedną bramkę bez odsłaniania. Następnie gospodarz teleturnieju odsłania inną, pustą bramkę. Wówczas uczestnik może pozostać przy poprzednim wyborze (i w przypadku wygrania nagrody zatrzymuje ją w całości), bądź wybrać pozostałą nie odsłoniętą bramkę (w przypadku wygrania nagrody będzie jednak musiał oddać 30% jej wartości). Co powinien zrobić, by zmaksymalizować oczekiwaną wartość swojej wygranej?

2. Wyjątkowość rozkładu normalnego polega i na tym, że suma dowolnej liczby niezależnych wielkości losowych o rozkładach normalnych ma także rozkład normalny. Czy są jeszcze inne rozkłady o tej właściwości? Podkreśl takie wśród następujących kandydatów:,rozkład Poissona, wykładniczy, Pareto, gamma, Cauchy'ego, Bemoulliego, równomierny. Dla dowolnego podkreślonego rozkładu naszkicuj dowód.

3.    Wektor losowy składa się z dwóch skorelowanych wielkości losowych. Wśród poniższych stwierdzeń podkreśl prawdziwe:

wielkości losowe są zależne wielkości losowe są niezależne

wariancja ich sumy jest zawsze większa niż suma ich wariancji wariancja ich sumy jest zawsze mniejsza niż suma ich wariancji

realizacje wektora losowego odwzorowane w prostokąuiym układzie współrzędnych układają się prawie idealnie w pobliżu pewnej prostej.

4.    Z dużej populacji o nieznanej wartości średniej pobrano próbę losową X_u ..., X„. Niech J_{n l}_g reprezentuje oczekiwaną szerokość ^-procentowego przedziału ufności, gdy (X_l+...+X_M)ln = z. Uszereguj rosnąco: A 000^,95, 7 10000,2,90 oraz J iooocu.95-

5. Chcemy zweryfikować hipotezę zerową H_n: dwie populacje mają ten sam rozkład interesującej nas cechy, przy hipotezie alternatywnej H\\ mają różne rozkłady. Pobieramy z obu populacji próby proste i stosujemy tzw. test serii:

a)    ustawiamy wszystkie zaobserwowane w obu próbach wartości cech w jeden ciąg niemalejący

b)    jako statystykę bierzemy liczbę serii w takim ciągu (seria = podciąg wartości z tej samej populacji, np. z populacji I: 3, 4, 7, z populacji II: 1,5, 6, wówczas ustawiony ciąg = 134567 ma cztery serie: 1, 34, 56, 7).

Jakiego typu obszar krytyczny: lewo-, prawo- czy dwustronny zastosujemy? Uzasadnij.