2007 egzamin

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK I li i II' EGZAMIN /. MA I ematyki KRAKÓW 9 1.1 JTY 2007

I a) Co to znaczy, tt (\iukcja y * f(x) jest lewostronnie ciągła w punkcie Xo ? h) Dobierz parametry o i A tak, aby (linkcja / określona wzorem

3* * dla x<0 /(x)*|3A    dla    x*0

[(l ł ax)m» dla .r > 0 była ciągła w punkcie Xo ^m 0,

2 a) Podaj definicję pochodnej /'(*») Korzystając z tej definicji oblicz pochodną

funkcji y = —Lr w punkcie *0 4 .

V*

_    1

b) Oblicz pochodną fiinkcji; y =* urctgyj4x — I + x* .

3 a) Podaj dwa twierdzenia dotyczące własności funkcji ciągłych,

b) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f{x)=\](x² +1)² na przedziale 2,3). Skąd wiemy, źe to zadanie posiada rozwiązanie ?

A a) Podaj twierdzenie będące warunkiem wystarczającym na istnienie punktu przegięcia wykresu fiinkcji w punkcie ,P(x₀,/(x₀)).

b) Wyznacz przedziały, w których funkcja f(x)=x² ln * jest jednocześnie malejąca i wypukła ku ku górze.

p a) Opisz sposoby obliczania całek postaci; J •■T^.air.r.--u.,*: ■/. w zależności od znaku

^J yax² + bx a-c

współczynnika „a”,

r 2x -1

b) Oblicz całkę nieoznaczoną: I ------- --— d\ .

^J V9x² -4

6

a) Podaj w formie twierdzeń dwie własności całki oznaczonej ( nie dotyczy działań arytmetycznych na funkcjach podcałkowych!).

b) Oblicz całkę oznaczoną: [ —7-^—-—

* x - 3x+ 2

I a) Jak obliczamy pole obszaru zawartego między osią Ox i łukiem krzywej dla x € (o, A) jeśli a ) krzywa opisana jest równaniem y~f(x) dla xe(cr,A),

P) krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi (jakimi podaj postać).

b) Oblicz długość łuku krzywej y ^m łnsituc dla x