20130108477

Przykład

Dana jest część rzeczywista analitycznej funkcji zespolonej. Znajdź jej część urojoną. Wiemy, że funkcje u i v będą stowarzyszonymi (sprzężonymi) funkcjami harmonicznymi.

v) = 2x — X³ 4* 3AT²    (u jest harmoniczna)

^ux - ^vy =2-2x² + 3y²

=> v(.r,y) = f 2 - 2x~ + 3y~dy = 2y-3jc²j^ + y³ + ^(jc)

v = —u => —6xy +    - —6xy

=> ${x) - 0 => ${x) = const

v(.\\ V) — 2y — 3x²y + y³ + const (v jest harmoniczna)

f (z) = 2x - x³ + 3xy² + /(2j - 3.v ^:y + y³ + const)

f (z) = 2Z —Z³ +C (f jest analityczna)