4506

• Przykład 3.5

Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć pozostałe elementy

tych pierwiastków: .) y/(3 - so*. b) y(l + 0«, c)

Rozwiązanie

W ro/wi^raciu wykorzystamy wzór wyrażający elementy zbioru pierwiastków

V* — (s®,

w zależności od wybranego pierwiastka x₀, przy czym argument główny *> niekoniecznie jest najmniejszy:

/ 2kw . . 2*r\

a* « so (co. — + izm —) , gdzie !<*<»• ].

n) Zauważmy, że jednym * elementów zbioru y/(3 — 3»j» jest liczba r₀ element tego zbioru wyraża się zatem wzorem

si = z₀ (cos Jr -f i sin ir) = (3 - Są) - (_,) ₌ __{3 + 5|}-

b) Zauważmy, że jednym z elementów zbioru

3 — Si. Drogi

Pozostałe elementy tego zbioru wyrażają się wzorem ^    * ^,ic/*^>a x°

(1 + 0*

2 i.

/ 2Ajt 9a s 1 _ -
^ T	• Sdzie *	- 1,2.
	•-O#)
*• -^2| rT^+,M“ T/		*= -V5-i,
= 2t ^CO8 y + i sin yj	f -•IM eS IJ

Zatem

c) Zauważmy, że jednym z elementów zbioru «/(%/?    .'\^ia •

V ^vyw V Jest liczba

[* (co. (-1) + i-n (-f))]³ = 8 (_cos (_£) ₊ ,-,_in (-1))

rr

Trzeci tydzień - przykłady

>H się wzorem

PoioMłlr elementy tego zbioru wyr

«* = *® («• ^ + «s>n . gdzie k

Zetem

2, = —8i (co* | + i sin    = -81 •ia|_|

*2— — 8i(cos*-r«Mn *) »> -8i • (—1) ■ Si.

23 = —Si (cos y + ieta y) = -«• (-i) a -t

• Przykład 3.6

Jednym t wierzchołków trójkąta równobocznego jest punkt :₀ = 1+21. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego trójkąta, jeżeli jego środkiem jest;

a)    początek układu współrzędnych;

b)    punkt u = 6 — i-

Rozwiązanie

a) W rozwiązaniu wykorzystamy fakt mówiący, że zbiór pierwiastków stopnia n > 3 _s liczby zespolonej z == 0 pokrywa się z wierzchołkami pewnego n-kąl* foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu i promieniu r =    Zatem znalezienie

wierzchołków ii. Z7 trójkąta równobocznego rozważanego w zadaniu, sprowadza się do wyznaczenia zbioru pierwiastków stopnia 3 z pewnej liczby zespolonej, gdy znana jot wartość jednego z tych pierwiastków, tzn. sq = 1 + 2i. Mamy

»* = *0	(cos
2x ,	2irY
y + .».n	3 )^!
4x ,	4x\

. -    _    -■ fc- 2fcx . . 1kx\

■r^ł tJM

I Zaceni I

*«*=(! + 2«)(cos y + .'sin y) =(1 + 2.)(-\ + ^ = (-1    +    i,

MMMakśi-feśg

1>) Przesuwamy oba punkty tak, aby środek trójkąta znalazł się w początku układu współrzędnych. Wierzchołek so znajdzie się wówczas w punkcie = zo — u = -5 + 3i. Pozostałe wierzchołki przesuniętego trójkąta można otrzymać teraz w taki sam sposób jak to pokazano w przykładzie a), tzn. z zależności:

z, -(-5 + 3 4 = (-5 +30

\(    *    5    3n/3    3

lilii

5>/3.

....    5 , 3^ 3    S>/5.

S2⁼i⁺-r^2^,+-r'

Wracamy do położenia początkowego i znajdujemy wierzchołki naszego trójkąta ze wzorów:

/ .    17    3\/3    5.    5^3.    »    17    3y/5    5. . 5>/3.

‘l — ii + a = —    -    -i--5-1,    A = *> + «=_T + -j--5' + -^