DSC07391

198 Odpowiedzi i wskazówki

14.9 Ja), d) nieskończenie wiele rozwiązań, 1 parametr; b), c) brak rozwiązań; e) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry.

| 4.1Q | _a) {y}, {;}; b) wszystkie możliwe pary niewiadomych, tzn. {x,y}, {*,=}, {z.t}, {y,=}. {y,t}, {z,tj; c) {i.£/,:}, {x,y,a), {*.!/.«}. {*.-.»}, {*.*.*}. {».*.*>. {».».<}•

(Tul Układ nie ma rozwiązań, ma dokładnie jedno rozwiązanie, ma nieskończenie wiele | !    ^1,1 1 "    ~‘    x    i ,,^_v ..‘;_v

rozwiązań odpowiednio a) dla p = -, dla p jó 5 i P T⁴ 3, dla p = 3; b) nigdy, dla p jć 4 i

p ^ 0, dla p = 4 lub p = 0; c) dla p = —2, dla p ;4 — 2 i p ^ 1, dla p = 1; d) dla p = 2, dla p ^ 2, nigdy; e) dla p € R, nigdy, nigdy.

14.12 | a) wyrób D waży 44 dag, znś wagi wyrobu E na podstawie tych danych nie można uzyskać; b) detale a,6,c ważą odpowiednio 4, 2 i 3 dag.

|4.13| a) x = —i, y = b) x = 2, y = -1, z = 1; c) x= 0, y = 2, z = -3; d) * = |,

y = -i, _z - --; e) i = l,y = -2, z = 0, t = 2; f) * = 10, y = 3, z = 0, a = -1, t = 0.

7    7

14.14    | a) x = 0, y = 2, s = b) x = l,y = 2,2 = 3,t = 4; c) x = —1,2/ = 1,* = -1,3= 2,t = 2; d) z = l,y = 0,z= l,a = 0,t= 1.

14.15 | a) i = l,y=—l,z = l; b) układ jest sprzeczny; c) x = — 1 — t, y = 1, z = 0, gdzie

13    14

I £ R: d) i - - — -z + s — t. y = — + -z — a, gdzie z,a,Ł    €    R.

7    7    /■..    7    7

14.16    1 a) układ jest sprzeczny; b) y = — + a, 2 = — 4 — 2x    —    a, t =    —,    gdzie x, s €    R;

c) x = -1 +1, y = 4 - f, z = 1 -1, gdzie t    € R; d) z = -5    +    3y + 2    +    2s, t =    —22, gdzie

f,2,l£ R.

14.171 Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub też nie posiada rozwiązań odpowiednio dla: a) p € R \ {—5,3}, p = 3, p = —5; b) p € ?.    {-1,-7}, p = —1, p = —7.

14.181 Czasy potrzebne na narysowanie formy, wycięcie, złożenie modelu i pomalowanie wynoszą odpowiednio 1 minutę, 3 minuty, 2 minuty i 4 minuty.

Rozdział 5 1 5.11 a) 13; b) 4: c) y/^Tń?; d) o.

ia-S, |fc- s.

1

^17

(2,3,-2) lub

15.31 a) u = (coso, sin a,0); b) ii = (cosa.cos^coey); c) 2 = C= —==(—2, —3.2).

3pl

|5.4|a)5;b) -17; c) -1.

15.5 | a) arccos —* 2,37[rad) as 135,8°; b) ~ [rad); c) = arccoa ^~= as 0,521 rad| as 29,8°, -pa = arccos    * 0,39|rad| * 22,3°. -pi = arccos    a>

0,751 rad | = 43,0®.

15.7 | a) (—4, —6,— 17); b) 3z + 5j + 2fc; c) p-7g +5?.

15.81 a) S = v/285; b) S = v/8l;

^c) ^s= 2 (I® ^x »l + I® ^x “>l + I® ^x “I + |(2- 5) x (tZr- ii) |).

'14910

35, '

15.101 a) -55; b) 22.

GES 1 a) |V| = 9; b) |V| = 2; c*) |V| = i |(S - ffl, u - ffl, fl + 5)| = \ |(5,0, ffi)|.

15.1? | a) tak; b) nie.

fS-131 a) 3y - 2: + 6 = 0. (z,y,z) = (1. -2.0) + a(l,0,0) + i(0,2,3), gdzie a,t 6 R; 6)19* - By - z = 0, (z. y, z) = (0,0,0) + s(l, 2,3) + t(-l, -3,5), gdzie t,(ER;

c)    5z + z - 9 = 0, (z, ił, z) = (1, -3,4) + a(0,1,0) + t(l,3, -5), gdzie a, 1 e R;

^d)    *^—Ił+z—5 = 0, (z, ił, z) = (1, -1,3) + a(l, 1,0) +1(0,1,1), gdzie a, 1 e R;

e)    3x — y + 3 = 0, (z, ił, z) = (0,3,0) + a(0,0,1) +1(1,3,0), gdzie a, 1 6 R.

0 -* + Ił + z + 4 = 0, (z,ił, z) = (2,1, -3) + a(l, 1,0) +1(0,1,-1), gdziea, 1 € R.

z — 2

3 fi

15.141 a) / : / jł = 5 -1, gdzie! € R,7 :    = —p =

ll z ^■ 2 + 31.    '§>

b )l

c) l

d) l

0)1 =

z = 1-31,    j

ił = 21, gdziei e R, l ;..r— = | =

ż = 6-21,    “³    2    2

V = -2 -1, gdzie! € R, / : | = ILt² = IZ³; z = 3 + 21,    ³    1

x = 7 + 61,

I> = 2 + 31, gdzie! € R, / :

z-7 _ |ł — 2 0    3

4’

| = 41,

| = -2 + 21, - .

y = 4 — 31, gdzie 1 € R, 1 : —— = —-= —■

z j= 41,

-3

4'

f) ' : ( y = “I-?!, gdzie! e R, 1 : 2—1 =    = 2-J.

I z = 2 + 311,    ⁷ gg ³¹

15.15 | a) punkt .4 należy, a punkt B nie należy do prostej i, b) prosta m jest zawarta w płaszczyźnie >r; c) punkt A należy, a punkt B nie należy do płaszczyzny ~ d) proste li i lj mają punkt wspólny (1,2,4); e) prosta 1 jest równoległa do płaszczyzny ir.

[5.161 a) (-1,0,3); b) (1,1,3); c) (0,2,-3).

COD-) ^^b> ^l:'>²=^d> o) y/U; f) 1; g) y; h) |v^T.