img017

17

Definicja 1.7. Zbiór Ac Z nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej (Z.d). Jeśli A «. Int^^A.

Przykładem zbioru otwartego w przestrzeni (Z.d) Jeet dowolna kula K(e _rr) _r gdzie a cZ.

Definicja 1.8. Punkt acZ nazywamy punktem skupienia zbioru ACZ

w przestrzeni metrycznej (Z.d), Jeśli istnieje cięg elementów x,x,...

zbioru A* różnych od punktu a, taki że lim x • a (w sensie metry-

m — <*>

ki d).

Oznacza to, ze punkt a jest punktem skupienia zbioru ACZ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej kuli otwartej o środku w punkcie a znajduje się nieskończenie wiele punktów zbioru A, które aę różne od punktu a (K(a,r)HA fi fi dla każdego rcR⁺). Wynika etęd, między innymi, że zbiór złożony ze skończonej ilości punktów zbioru Z nie «a punktów skupienia. Zauważmy też, że punkt skupienia a zbioru ACZ może nie należeć do A.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A w przestrzeni (Z.d) oznaczamy przez    ^.

Definicja 1.9. Domknięciem zbioru ACZ w przestrzeni metrycznej (Z.d), które oznaczamy symbolem Cl^₂ j)^A» alb° symbolem A^₂ ^, na-zywomy zbiór złożony z punktów zbioru A oraz jego punktów skupienia,

^tzn* ^C1(Z,d)^A ■ ^AUA(Z,d)-

Definicja 1.10. Deśli Cl^₂ ^jA « A, to A nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej (Z,d).

Definicję 1.10 można też podać w innej formie: zbiór zawierajęcy wszystkie swe punuty skupienia nezywamy zbiorem domkniętym.

'Twierdzenie 1.5. Oeśli zbiór ACZ Jest domknięty w przestrzeni metrycznej (Z.d), to zbiór Z\A, zwany uzupełnieniem zbioru A do zbioru Z, Jest otwarty w tej przestrzeni.

Dowód. Niech ecZ\A. Zatem ci A, a więc e nie Jest punktem skupienia zbioru A (zbiór A Jest z założenia domknięty) co oznacza, że istnieje kule K(a,r) teka, że K(e,r)OA * fi (dlaczego?). W konsekwencji K(a,r)cZ\A, co kończy dowód.

Zupełnie podobnie można udowodnić

Twierdzenie 1.6. Uzupełnienie ZNA zbioru A otwartego w przestrzeni metrycznej (Z.d) Jeet zbiorem domkniętym w (Z.d).

Przykładem zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej (Z.d) jest dowcin© kula domknięta K(a,r), gdzie seZ.