img028

28

lim x » f{ lira ^mx*)

m —*oc    O —*• oo

czyli a = f(a).

Aby zakończyć dowód twierdzenia należy Jeszcze udowodnić, że równanie (2.8) nie ma żadnych innych rozwiązań oprócz rozwiązania a. Przypuśćmy, że spełniona jest równość (2.8) oraz

f(b) • b    (2.10)

gdzie a b. Wówczas z (2.8), (2.10) i (2.5) otrzymujemy d(e,b) « d(f(a) ,f(b)) 4. q.d(a,b)

Dzielęc ostatni* nierówność obustronnie przez d(a,b) / 0 (bo a / b) , dostajemy l^q, co Je6t sprzeczne z założeniem, ża qe(0,l).

Dowód twierdzenia 2.4 został zakończony.

2 dowodu twierdzenia 2.4 wynika ponadto, że Jeśli wybierzemy dowolny element x ze zbioru 2 i utworzymy clęg nieskończony

x, i * f(x), i » f(x),x a f(x), ...

to ten cigg jest zbieżny w przestrzeni (Z,d) właśnie do punktu a będącego jedynym rozwiązaniem równania f(x) ■ v.

Niżej podamy trzy przykłady zastosowań twierdzenia Banacha. Nie s? to zastosowania najważniejsza, bowiem dopiero w dalszym okrasie studiów zostanę przedstawione zastosowania twierdzenia o odwzorowaniach zwężajęcycb w teorii równań różniczkowych i całkowych oraz w pewnych specjalnych przestrżeniach zupełnych: w przestrzeni Hilbsrta*¹ albo w przestrzeni Banacha.

Przykłady

1. Niech dana będzie funkcje f:R R spełniająca następujący warunek !

\J /\ lf(.) - f(b)UL|s - b|    (2.11)

L€R⁺ a ,b e R

Dawid Hilbert '23 I 1862 - 1*ł II 19*3; - uczony niemiecki uchodzący z* jednego z najwybitniejszych matematyków swoich czasów* Zajmował sit wieloma działami matematyki: algebrą i teorią liczb algebraicznych, gdzie sformułował wiele podstawowych twierdzeń; podstawami geometrii i podstawami me tema tyki, co doprowadziło go, między innymi, do znanego programu 'Hilbert wierzył, że każdy problem matematyczny może być rozwiązany, Jeśli tylko poświęci się mu dostatecznie wiele wysiłku); rachunkiem wariacyjnym i teorią równań całkowych - dzięki tym badaniom możliwe się stało stworzenie analizy funkcjonalnej. Prowadził też badania z zakreau fizyki matematycznej.