img044

44

Rⁿ9 X ■    (x......x_n) -*• pr^{x} • *jC R (i»l. •••.«)

zwene projekcja wektora x na i. oś układu współrzędnych. Aby stwierdzić Jej ciągłość, obierzmy dowolny punkt a € Rⁿ i niech e będzie dowolną liczbę dodatnią, wówczas, jeśli Sm £, to

d_k(x,a) < $-*| pr (x) -pr (•)!<£■ & ^xi

dla każdego x eRⁿ (i«l,...,n), co należało udowodnić.

Znane własności funkcji ciągłych jednej zmiennej rzeczywistej przenoszą się na przypadek funkcji rzeczywistych ciągłych w zbiorze Z, gdzie (Z.d) Jest dowolną przestrzenią metryczną. I tak suma, różnica iloczyn dwóbh funkcji ciągłych Jest funkcją ciągłą. Iloraz dwóch funkcji ciągłych jest również funkcję ciągłą wa wszystkich punktach, w których mianownik jest różny od zera.

Twierdzenie 4.1. Jeśli (Z.d) jest przestrzenią metryczną i f:Z-*-R jeat funkcję ciągłą w Z, to zbiory

Aj ■ £ x £ Z: f (x) < s }

^A2 * "{ ^{x € Z: f}

są otwarte dla dowolnego acR, a zbiory ^B1 «    {x C Z* f(x)£ b^

^B2 * { x c Z: f (x) >/ b $ są domkniąte dla dowolnego beR.

Dowód. Pokażemy, że zbiór Aj jest otwarty. Niech &£Aj, zł tern f(x) < a. Przyjmijmy £■ e - f(£). Ponieważ f Jest ciągła w x, wiąc

A V A d(*,8)«5-»|f(x) - f(8)Ue

£>0    o>0 x c Z

Czyli f(x) < f(?) ♦ & - a. a zatem cała kula o środku § i promieniu S Jeet zawarta w Aj, co oznacza, że zbiór Aj jest otwarty w przestrzeni (Z.d).

Jeśli b ■ a, to zbiór B₂ Jest uzupełnieniem zbioru Aj, czyli B₂ jest zbiorem domkniątym (zob. twierdzenie 1.6).

Podobne rozumowanie prowadzimy dla zbiorów A₂ i Bj.

Twierdzenie 4.2. Niech (Z.d) będzie przestrzenią metryczną. Jeśli dla funkcji ftZ—>R każdy ze    zbiorów Aj    i    Aj Jeet    otwarty dla dowolnego aeR, albo każdy ze    zbiorów Bj    i    B^ Jest    domknięty dla dowolnego bcR, to funkcje f    jest cięgła    w    zbiorze    Z.

Dowód. Niech 8cZ i niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Utwórzmy zbiory Aj . { x e Z: f (x) < f (?)♦£.}, Aj - {x £ Z: f (x) > f (?)-£