img046

46

ciwoym przypadku zbiór 1 miałby tylko skończony ilość elementów. Oznaczmy tę część przedziału    , która zawiera nieskończenie wiele

liczb zbioru I przez i₂,s₂> . Z kolei podzielmy odcinek <1₂^,82^> na dwie równe części obustronnie domknięte i oznaczmy przaz ^i₂,s₂> tę z nich, która zawiera nieskończony ilość elementów zbioru I. Postępu-J?c tak delej, otrzymujemy ci?g przedziałów < i_m,3_ffl>    ..*), 2

których każdy jest zawarty w bezpośrednio poprzedzającym* Styd, na podstawie zasady Cantora (ćwiczenie 3-1) istnieje taks liczba 3, która naleZy do każdego z nich.

Pokażemy, że 3 jest punktem skupienia zbioru I* Ietotrtie, niech będzie dowolny liczbę dodatnlę i niech k będzie takim wskaźnikiem, że długość odcinka < i_k#S|_ę> jest mniejsza od ^ . Wówczas < i^, s^> C K(g ,6) . Ale przedział <ij_t,Sj₍> zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru I, co oznacza, że g jest punktem skupienia zbioru I-

Twięrdzenie A.a (zasada 8ol2ano-V/eierstrassa dla cięgów). W przestrzeni E^{1 2 3} z każdego cięgu ograniczonego możny wybrać podciyg zbieżny.

Dowód. Niech    będzie ograniczonym cięgiem liczbowym. 3eś-

li zawiera on nieskończenie wiele wyrazów równych, to wyrazy te tworzę podcięg zbieżny. W przeciwnym rezie wystarczy powtórzyć rozumowanie przedstawione w oowodzie twierdzenia 4.3*

Z twierdzenia 4,4 wynika już bardzo orosto, że jeśli a i b s? liczbami rzecżywietymi, to przedział otwarty (a,b) wraz z odległości? d_k(x,y)»

» łx~yl jest przestrzeni? prezwart?. Nie jest to jednak przestrzeń zupełna (dlaczego?).

Isrrisj? więc takie przestrzenie metryczne, które wprawdzie 3? ó^re* zwarte, ale nie s? zupełne.

Definicja 4.2. Przestrzeń metryczny, która jest prezwarta i zupełna

r.-„j'.z±‘r.-i

<~-3Zywamy przestrzeni? kompaktyczn? lu'o krótko kompaktem.

Definicja 4*3. Przestrzeń metryczny (Z,d) majyc? tę własność, że

1

jeśli sCZ, to istnieje kula domknięta ic(s.r) taka, że (K(s,r),d) jest kompaktem, nazywamy przestrzeni? lokalnie kompaktyczn?*

Zaznaczmy, że definicja przestrzeni korapaktycznej Jest równoważna następujęcej: kompakt Jest to przestrzeń metryczna o tej własności, źe każdy podzbiór nieskończony zawiera ciyg zbieżny.

Przykłady

2

   Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych należycych do odcinka <a,b>

wraz z odległości? d.(x,y) ■ łx-yl jest przestrzeni? kompaktyczns♦ i ^K

3

   Przestrzeń E nie Jest kompaktem, ponieważ ci?g 1,2,.**, nie zawiera podcięgu zbieżnego. E² Jest jednak przestrzeni? lokalnie kom-oektyczn?.

3* Zbiór wszystkich liczb wymiernych należących do odcinka <e,b> wra2 z metryk? przestrzeni £* nie Jest kompaktem ani też przestrzeni? lokalnie kompaktyczn? (zobacz przykład na stronie 2Z) .