img073

⁷3

U w a g a. Funkcja o której mowa w razie twierdzenia 6,4 nazywamy funkcję uwikłany.

Dowód twierdzenia 6,4. Nia zmniejszając ogólności rozważań, możemy założyć, że    (8,u_o)>0 oraz przyjęć, że (x,u)>0 w całej

kuli K((x,u₀),r) (na mocy ciągłości —) bowiem w razie potrzeby należy tylko zmniejszyć promień kuli K((x,u_Q),r),

Ponieważ f(x,u_Q) * 0, więc f(8,u) > 0 dla u > u₀ i f(8,u)<0 dla u<u_o. Ustalmy punkty u^> u_Qi    Znowu z ciągłości wynika,

że istnieją kule K((S,u_Q),r₁) i K((8,u_o),r₂) takie, że

f(x,u)>0 dla (x.u) £ K((?,u₁),r₁)

f(x,u)< O dla (x,u)€ K((8_v-u₁),r₂)

Niech teraz K(S,t) ■ K(x,r j) H K(x,r₂) ustalmy dowolny punkt xeK(x,t). Ponieważ f(x,-Uj) < 0, f(x,u^)>0, a funkcja u-»f(x,u) jednej zmiennej u jest silnie rosnąca na odcinku <-u₁,u^> (bo ~ (x,u) >0 w K((x,u©). r) ) , więc istnieje i to Jedyna wartość u - u(x), dla której spełniona jest równość f(x,u(x)) • 0.

'.7 ten sposób udowodniliśmy istnienie i Jednoznaczność rozwiązania równania f (*_1#. •. ,x_n ,u) - 0 dla każdego x£K(x,t).

Należy jeszcze wykazać, że otrzymana funkcje x—* u(x) jest ciągła. Gęśli u nie byłaby ciągła w pewnym punkcie yeK(x,t), to istniałby ciąg    punktów kuli K(S,t), który Jest zbieżny do ycK(x,t),

ale u(y) —*■ a » u(y). 2 drugiej strony mamy Jednak f(y,u(y)) * 0, skąd na mocy ciągłości funkcji f, otrzymujemy f(y,a) ■ 0. Gest też ^(y*u(y)) - 0.

W ten sposób, dla ustalonego x « yęK{x,t), funkcja f Jest równa zero w dwóch punktach (y,a) i (y,u(y)) takich, że a fi u(y), co jest niemożliwe. Zatem u Jest ciągła w K(S,t).

Dowód został zakończony.

Twierdzenia 6.5. Gęśli spełnione są wszystkie założenia twierdzenia

*■ ■ ■    a i

6.4 1 oprócz tego pochodna cząstkowa    (k ■ l,...,n) są ciągłe w kuli

^K((x#u₀),r), to funkcja u skonstruowana w dowodzie poprzedniego twierdzenia aa ciągłe pochodne £■£— (k » l,.,.,n) w kuli K(x,t).

ox_k

Dowód. Niech e€K(?,t)_# Ponieważ kula K($,t) jest zbiorem otwartym « przestrzeni Eⁿ, więc istnieje kule K(a,p)c K(8,t). Oznaczmy przez h - (0,....0,h_w,0,...,0) toki wektor dla którego lhl_n<p (wynika atąd, k-i razy n-k razy