img078

Wykład 7

Interpolacja

Niech zbiór funkcji Z będzie przestrzenią liniowa. Oznacza to, że Jeżeli funkcje fig *a elementami zbioru 2 oraz a i b są liczba «ii, to funkcja af ♦ bg również należy do 2.

Przykład

2biór wszystkich funkcji rzeczywistych i ciągłych w zbiorze Ac Rⁿ Je$t przestrzenią liniową. Podobnie, zbiór wszystkich funkcji

f: Rⁿ D A —► R

i takich, że f(8) ■ 0, gdzie 8c A, Jest przestrzenią liniową. Ale, Jeśli f(x) • i, to Z nie Jest przestrzenia liniowa*

Dalej zakładany, że I Jest podzbiorem zbioru Z, przy czym I jest również przestrzenia liniowa (oznecza to, że I jest podprzest rzenią liniową przestrzeni Z) oraz, że 1^:2—♦R (k ■ 0,l,.**,m) są funkcJona-łani liniowymi, tzn. dla każdych dwóch funkcji fig 2e zbioru Z ( oraz dla każdych dwóch liczb a i b zachodzi równość l^(af ♦ bg) *

» dljjf) * bl_k(g) (k ■ 0,1.....■ ).

Przykłady

1.    Funkcjonał 1 określony wzorem l(f) ■ f(8) gdzie S C A Jest linio ny w przestrzeni liniowej wszystkich funkcji f:Rⁿ3A-*R,

2.    W przestrzeni liniowej Z wszystkich funkcji rzeczywistych i ciągłych w przedziale < 0,1 > C R, funkcjonał

1

1:2 3 f —-j tf(t)dt O

jest funkcjonałem liniowym, natomiast funkcjonał

1

ut2 af — J f²(t)dt

O

nie i»»t liniowy.