img088

88

7.3. Stany równowagi w sieci Hop field a

które zwykle ulega dodatkowemu uproszczeniu, ponieważ przyjmuje się, że = 0 dla wszystkich m i dla wszystkich j > 0. Uproszczenie to ma następującą interpretację. W chwili początkowej (j = 0) do neuronów sieci (wszystkich, albo tylko niektórych, wybranych) doprowadza się sygnały wejściowe ^ 0. W wyniku tego na wyjściach neuronów sieci wytwarza się zestaw sygnałów wyjściowych Y'*b W tym momencie sygnały wejściowe zostają odłączone i aż do końca symulacji nie uczestniczą w obliczeniach (xm = 0), natomiast w sieci zaczyna się rozwijać pewien proces, polegający na wyznaczaniu kolejnych wartości Y«> (j = 2,3,...) na podstawie zależności

y0'+») ₌ 3 (y(i))

Proces wyznaczany przez kolejne wartości

yfO^ y(^a)_J y(3)_{ł ł} yti-0, yO')^ ytf+O_t

można obserwować w przestrzeni stanu y C 7?.*, do której należą wszystkie wektory sygnałów wyjściowych z elementów sieci Y^b W tej przestrzeni możliwe są wszystkie szeroko znane procesy, jakie związane są z realizacją nieliniowej rekurencyjnej zależności yti+O = e (Y^J), a mianowicie możliwe jest stabilizowanie się przebiegów i ich zbieżność do określonych wartości Y", możliwe jest pojawianie się oscylacji wartości Y⁽->* i związanych z nimi cykli oraz orbit w przestrzeni .V, możliwe jest powstawanie przebiegów rozbieżnych, w ramach których wartości niektórych (lub wszystkich) zmierzają do nieskończoności, wreszcie przewidywać można w tym systemie pojawianie się chaosu.

O wyborze jednej z tych możliwości decyduje oczywiście zestaw współczynników Wagowych Wf . Stosunkowo wcześnie (1983) Cohen i CJrossberg wykazali, że sieć generuje stabilne rozwiązania, jeśli uniemożliwi się autoasoojacyjność pojedynczych neuronów

oraz zapewni się symetrię sieci

«f" = «ff

to sieć wykazuje stabilność zachowania. Nawet jednak przy stabilnym zachowaniu sieci pozostaje otwarty problem wyboru przez sieć konkretnego stabilnego stanu docelowego Y". Takich możliwych stanów jest oczywiście nieskończenie wiele i dlatego potrzebne jest precyzyjne kryterium, określające, który z nich zostanie przez .sieć ,,wybrany”.

7.3 Stany równowagi w sieci Hopfielda

Problem wyboru określonego „docelowego” stanu sieci można traktować jako problem wyboru stanu o mimimalnej „energii” sieci. Funkcja „energii” jest tu oczywiście wprowadzona w sposób czysto umowny, w rzeczywistości należy raczej mówić o funkcji Lapunowa, jednak większość autorów przyjmuje za Hopfieidem tę energetyczną metaforę. Funkcja „energii” może być dla sieci zdefiniowana w sposób następujący:

£«> = (-1/2) 53 53 .»!"'*    - 53 y\^s) + 53 -£>

.€ m€»t    r€ W    .€»I