img103

103

wskazówka. Skorzystać ze wzoru (6.4) na stronie 69.

8.3.    Czy może się tak zdarzyć, że jedna z pochodnych wieszanych drugiego rzędu funkcji f ma w punkcie P skończonę wartość, a druga pochodna mieszana w tym samym punkcie nie istnieje? Rozpatrzyć funkcję fjR²3(x,y) —w y l|x²*y² i przyjęć P w (O.O),.

8.4.    Sprawdzić, że pochodne mieszane drugiego rzędu funkcji

f:(x,y)

x²arctg dla R j x j O 1 ycR O dla x ■ O i y 6 R

nie eę równe w punkcie (0,0).

8.5.    Obliczyć d³f(l,l), jeśli f:R²3 (x,y) —»x³ ♦ y³ - 3xy(x-y).

8.6.    Obliczyć d^kf(x,y,z). Jeśli f:R³3 (x,y,z) —e^{8X + by+cz}.

8.7. Wyznaczyć różniczkę zupełnę pierwszego 1 drugiego rzędu dla funkcji ftR 3 (a,b,c)-*-R, gdzie a ■ x*ey _# b ■ x -y , c • 2xy ((x,y)€R²).

8.8.    Napisać wzór Taylora dla funkcji f:R³3 (x,y,z) —*^>x³^y³*z³-3xyz_# przyjwujęc a -- (1,1,l).

8.9.    Przedstawić f(x»h,y*k,z*l) za pomocę całkowitych potęg wielkości h, k 1 1. jeśli

2 2 2

f(x,y,z) » Ax ♦ 8y ♦ Cz ♦ 20xy ♦ 2Exz ♦ 2Fyz

gdzie (x,y,z)e R 1 A, B, C, D, E, F sę stałymi.

2    3    3

-8.10. Zbadać położenia wykresu funkcji f:R a (x,y) —+■ x +y -3xy względem płaszczyzny stycznej.

8.11.    Wyznaczyć maksima 1 minima lokalne następuJęcych funkcjit

a)    ftR² o(x,y)—x⁴ + y⁴ - 2x² ♦ 4xy - 2y²,

b)    f :R² 3 (x,y)x²y²(6 - x- y) ,

c)    ftR²3 (x,y) —(x²*y²)e’^(x2,'y²⁾.

2 2

d)    f :R³ 3 (x,y,z) — x ♦ £♦£-♦§ (x>0, y > 0, z >0) .

8.12.    Pokazać, że funkcja ftR²3 (x,y) (l>e^y) cos x - ye^y me nieskończony Ilość punktów maksimum lokalnego i oni Jednego minimum lokalnego.

8.13.    Pokazać, że w odróżnieniu od funkcji jednej zmiennej Już dla funkcji dwóch zmiennybh istnienie w zbiorze 0 Jedynego ekstremum lokalnego - maksimum albo minimum - nie oznacza jeszcze, że ekstremum to Jest największę albo nejmniejszę wartościę funkcji w całym zbiorze 0.

Rozpatrzyć przykłady:

a) f:R²3 (x,y) —w x² - y² ♦ 2e~^x2.    0 - R²