img255

*4 = -1,826 - 0,079*1 - 0,397*2 + 1,380*3

Dla porównania, gdybyśmy chcieli przewidywać x4 na jxxlstawie tylko jednej cechy, to współczynniki regresji prostej byłyby równe:

^r4_rj ⁼ 0,380, bjf4_X2 ~ 0,755, b_x4*3 — 1,004

12.2 Rozwiązywanie układu równań normalnych

Z podanych powyżej wyprowadzeń wynika, że dla znalezienia ocen parametrów p₀,

|i[.....należy rozwiązać układ równań normalnych ze względu na p + 1 niewiadomych.

Rozwiązanie takie jest jednoznaczne, jeżeli wyznacznik macierzy A (lub S albo C) jest różny od zera.

Z reguły do rozwiązywania układu równań normalnych stosuje się pewne metody wypracowane na gruncie analizy numerycznej, a pozwalające na uproszczenie obliczeń oraz zapewniające dobrą stabilność numeryczną.

Oceny parametrów p₀. p_Ł.....p_p można np. wyznaczyć bez odwracania macierzy,

a mianowicie stosując tzw. metodę Doolittle‘a. Idea tej metody polega na takim przekształceniu symetrycznego układu równań liniowych, by uzyskać układ trójkątny, tj. układ, którego wyznacznik główny ma same zera poniżej głównej przekątnej i jedynki na niej. Przekształcanie to polega na mnożeniu równań układu przez pewne liczby oraz dodawaniu i odejmowaniu tych równań. Rozwiązanie układu trójkątnego jest bezpośrednie.

Inną szeroko stosowaną metodą jest metoda Gaussa-Jordanu, która wykorzystywana jest do rozwiązywania układu równań postaci (12.6), tzn. układu w którym występują sumy kwadratów i iloczynów odchyleń. Dane wyjściowe składają się z elementów macierzy S, wektora s_y, oraz sumy kwadratów odchyleń zmiennej y, czyli Syy. Oznaczmy przez U macierz utworzoną z wymienionych elementów według schematu:

Jest to macierz symetryczna o p + 1 wierszach i kolumnach. Istota omawianej metody polega na wprowadzaniu do macierzy U kolejnych zmiennych niezależnych, przy czym wprowadzanie to będzie się wiązać z wykonaniem odpowiednich przekształceń. Po wprowadzeniu pierwszej zmiennej (np. x,) i związanych z tym przekształceniach, wprowadzamy

255