img343

DODATEK 3.

WIELOWYMIAROWY ROZKŁAD NORMALNY

Jak wiemy zmienna losowa x podlega rozkładowi normalnemu, co notujemy

x = N (p,<J) ,

jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem 1

^/w"^T5^cxp

(*-0² 2 a²

O)

gdzie £(a) = p jest średnią, natomiast £(a - p)² = a² — wariancją zmiennej losowej x. Wzór (1) możemy zapisać w nieco innej, przydatnej do dalszych rozszerzeń postaci:

^Ax)=iŁ^nv

(A-p) (a²)"¹ (a

-]

(2)

W przypadku dwóch zmiennych losowych a, i a₂ łączna gęstość rozkładu normalnego ma postać:

Ax) =

(2n)^n/2 li¹

T7iexp

|(A-p)^rS (A-p)

(3)

gdzie n jest równe liczbie zmiennych (n = 2), x = [a,, a₂]⁷ jest wektorem kolumnowym zmiennych losowych z wektorem średnich p = [pj, p₂], natomiast L jest macierzą kowariancji określoną dla dwóch zmiennych jako

	£ (a, - p,) (a2 - P2>		of 012'
£(A,-pl)(A2-p2)	^(.r,-Mi)^2		a12 <Ą

Występująca we wzorze (4) wartość l£i = a² a₂ - a²2 jest wyznacznikiem macierzy kowariancji.

343