img344

Parametrami rozkładu są teraz: wektor średnich fi oraz macierz kowariancji Z. Macierz ta zależy nie tylko od wariancji obu zmiennych, które znajdują się na głównej przekątnej, ale także od stopnia powiązań między nimi. Rozproszenie wyników w rozpatrywanej dwuwymiarowej przestrzeni zależy od stopnia powiązań osi układu współrzędnych, na których „rozpina się" przestrzeń naszych wektorów obserwacji. Jeśli korelacja między a x₂ jest duża. to najczęściej pojawiać się będą pary leżące wzdłuż linii regresji między x_x a x₂. Zatem miejscami geometrycznymi punktów mających jednakową gęstość prawdopodobieństwa będą elipsy. Równania tych elips wyznacza się przyrównując wykładnik we wzorze (3) do wartości stałej.

Dwuwymiarowy rozkład normalny odpowiada powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej (rysunek D3.1), której poziomymi przekrojami (poziomicami) są elipsy wzajemnie

Rys. D3.1.

koncentryczne. Dla maksymalnej wartości prawdopodobieństwa elipsa taka degeneruje się do punktu (p,, Pionowe przekroje przechodzące przez środek rozkładu¹ mają postać jednowymiarowego rozkładu normalnego, którego szerokość jest wprost proporcjonalna do promienia elipsy kowariancji, branego wzdłuż linii danego przekroju. W szczególnym przypadku braku korelacji między .r, a .y₂, tzn. takim, dla którego cov(X], x₂) = 0, elipsy koncentracji przechodzą w okręgi o środku w punkcie (p,. p^.

Uogólnienie wzoru (1). lub raczej (2), na większą liczbę zmiennych (tzn. /> zmiennych) polega na zastąpieniu jednej zmiennej losowej x wektorem losowym x o p składowych,

344

1

tzn. punkt o współrzędnych (j*i. P2)