lab7 3

Niektóre niezbędne wzory i użyteczne stałe

Ruch harmoniczny zachodzi pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia układu od stanu równowagi xo, lecz przeciwnie do niego skierowanej:

F = -kx    (1)

gdzie k nazywamy współczynnikiem sprężystości. Równanie to jest zależnością empiryczną znaną jako prawo Hooke’a. Prawo to dotyczy sprężyn i innych ciał sprężystych pod warunkiem, że deformacja nie przekracza granicy sprężystości. Na rysunku poniżej jest przedstawiona zależność wydłużenia sprężyny od siły powodującej odkształcenie sprężyny.

Okres drgań dla prostego oscylatora harmonicznego wynosi:

T = 2x.

m

~k

(2)

Stała k zależna jest od charakteru sił, pod wpływem których porusza się drgająca masa. Na przykład dla wahadła matematycznego o długości / siła powodująca powrót układu do położenia równowagi jest siłą ciężkości i wtedy k ~ mg/L Gdy o ruchu decyduje sprężystość ciała (np. drgania sprężyny, drgania pręta), stała k związana jest z właściwościami sprężystymi materiału, tj. modułem Younga E lub z modułem sztywności G , oraz zależy od wymiarów geometrycznych układu. . Teoria sprężystości pozwala na obliczenie współczynnika sprężystości k sprężyny na podstawie modułu sztywności G materiału oraz wymiarów geometrycznych: promienia zwoju sprężyny R, promienia r drutu, z którego wykonano sprężynę i liczby zwojów sprężyny n,

4nJt¹

(3)

Przy wyprowadzaniu wzoru (2) przyjęto dwa założenia upraszczające. Po pierwsze, nie uwzględniono oddziaływania grawitacyjnego, a po drugie zaniedbano masę sprężyny, która, obok masy ciężarka, też uczestniczy w drganiach.

7-3