MAT15

15

-U

II

łJ

dx

(x-\)jx'-+x+\

dx

(.x+2)²/x²+.x+l

dx

(.X+2)/x²+.X+l

*“l = 7		•Y + 2 = —		* + 2 = i
dx = —rdt /*		ć/.y = —^l-du ir		dx = —'-du ir
X^2 + x + l =		X^2 + X + 1 =		X^2 + .Y+ 1 =
+ l)^2 + (-j-+l)+l =	= (i	-2)^2 + (A-2)+l	=:	= (A-2)^2 + (A-2)+]
= -L + i. +3 =		7" "77 ir		= 4--| + 3 = ir
= A(i +3r + 3r^2)	=	A-(l -3w + 3 ir)		= A-(l -3t/ + 3w^2)
5 f	_ 2. f	-Ą-du u-		5 r -i-^d
^9 J -f V3/^2 + 3/+ 1	3 J	-±±j3ir-3u+ 1 ir		^9 J ±±j3t^-3u + i
5 f dt	i ^2	udu |	5	f
^9 ■* V3/^2 + 3/ +	1 ^3	J3u^2 - 3u + 1	9	V3//^2 - 3» + 1

Dalsze obliczenia, prowadzące do wyniku, pozostawiam Czytelnikowi.

Zadania

Obliczyć następujące całki

1. f-Jt=r,

J Wi+.x²

(lx

² J

³1

4

(i+.x),b+.v-.t^: '

</.V

(lx-3)V-J.x-x² ’

f    xJx

j (,x-l)-Vl+lx-.x² ’

5 J

g r

J .X^{2    5}

7. f-

{x-\){x-2)j2-x² '

5.2.4. Podstawienia Eulera do całek typu J R(x. -Jax² + bx + c )dx

I.    Jeśli a > 0. to podstawiamy Jax² + bx + c = (t -x) Jd. Podnosimy do kwadratu i obliczamy dx - ? oraz Jax² + bx + c = ?

II.    Jeśli a < 0. to musi być A > 0 (w przeciwnym przypadku ax² + bx + c < 0!) i podstawiamy

_    2 /__A- 1

Jax² + bx + c = (x +    - /--A-. Podnosimy do kwadratu i obliczamy „y: x = —---L. =>

dx = ? oraz V<7.v² + bx + c = ?

Przykłady

1.

V =

2at+b

Podstawiamy: oraz /y² - 2.v =

dx		■=f ^2	■di = -
X JX^2 -	2.Y	J r^2
Jx^2 -	2.Y	= l — X	=> .Y
, 1	r^2	I	/^2 - 2l
^1 2	/ -	1 2	l- 1

2 /- l

2.y

r/.Y= |

2 (,-l)²

Opracował: Marian Malec