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Aus Fig. 1 ist ersichtlich, dass fur x < x₀ die erste Abieitung

/ (x) - tan or, >0 fur x < x₀ /'(x) = tanar₂ < O fur x > x₀

Schluss: Die erste Abieitung erleidet beim Passieren der Maximalstelle einen Vorzeichenswechsel    - ia liegen die Dinge bei einem Minimum ganz umgekehrt.

Das Vorzeichen wechselt namlich von — nach +. Auf den exakten Beweis wird verzichtet.

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Satz 2: (Erste hinreichende Bedingung fur innere Extremstelłen)

Sei/eine auf I defmierte und differenzierbare Funktion und sei an einer inneren Stelle

/' (x₀) = O. Wechselt das Vorzeichen von bei x₀ von + nach - (bzw. von - nach +), dann hat/

bei x₀ ein Maximum (bzw. Minimum).

(Zweite hinreichende Bedingung fur innere Extremstellen)

Bei einem Maximum wechselt das Vorzeichen von / (x) bei x₀

von + nach Ist / (x) in U( x₀) differenzierbar, dann gilt

/"(•*o)^<0 /(x) hat bei x₀ ein Maximum und bei x_n ein Minimum

Ist/eine auf I zweimal differenzierbare Funktion und an einer inneren Stelle gilt es /‘(x_o) = 0aber / (x₀) * O, dann hat/ bei x₀ tatsachlich ein eigentliches Extremum, und zwar

ein Minimum,    falls / (x₀) > O ist,

ein Maximum,    falls / (x₀) < O ist.

Beispiel: Finde alle lokale Extrema der Funktion /(x) = x³ = 6x² -15x.

Nach der notwendigen Bedingung muss die erste Abieitung versęhwi^nden d.h.

/ (x) = 3(x² + 2x - 5) = O <=> x² + 4x - 5 = O

Die Lósungen der obigen Gleichung sind die Nullstellen x, = -5, x₂ = 1. An diesen Stellen sind Extremwerte zu vermuten. An Hand der zweiten Abieitung / (x) = 3(2x + 4)    / (-5) = -18 < O und /(l) = 18,

die an beiden Stellen x, und x₂ verschieden von O ist, lasst sich feststellen, dass/x) bei x, = -5 ein Minimum hat. Einsetzen dieser Werte in die Funktionsgleichung ergibt fmn(-5) = 100,    (1) = -8