008(1)

a więc

<P(~x) = <f(x)

czyli <p(x) jest funkcją parzystą.

3) t/(—x) = (—*)³-f- 2(—a-) —1 = —*³ — 2x — 1 W tym przypadku

w(—*) f u(x)

oraz

«(—¹)    — u(x)

dlatego funkcja u(x) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

a^+1

<z²-l

4) y(—x)

1 +a~^kx 1 -a~^kx

(licznik i mianownik pierwszego ułamka pomnożono przez a^kx) zatem y(—x) = —y(x), skąd wynika, że funkcja j(*) jest nieparzysta.

6.    Zaznaczyć na osi liczbowej dopuszczalne wartości zmiennych, określone za pomocą nierówności:

1)|*| <4, 2) 0-1) ² >9, 3)-3<z+l <4, 4) 2|*|+3>5.

7. /(x) = .v²+3* —1; obliczyć:/(O), /(2), /(-1), f(a+1), f(a)+1,

f(a²), f/(«)]².

⁸. P(*) = ^_T; obliczyć: F(°), F(2),

.FC*)—_JF(1)+7_JF(-1).

9.    y(/) = /²; obliczyć: l)^-⁹-^, ₂₎9>M)-ęp(a-h)

b—a    2h

10.    f(x) = x?, rp(x) = a-³; wykazać, że /fr/(2)] = y[/(2)) oraz 9>U+/(!)] = 2f[l+<F(\)l

11.    Zbadać, która z następujących funkcji jest parzysta, która nieparzysta, a która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta:

1) y = 3*—2 f .r 2) z = 5¹ sin 3*    3) w = | f [—f³

4) ® = [ *| ctg²* 5) w = cc -f | a+21 6) x — ^a

Oczywiście, dla wielu funkcji dziedziną będzie nie cała oś liczbowa, lecz jedynie pewna jej część. Np. dziedziną funkcji y = ) x będzie półotwarty I przedział 0 < x < + oo, ą dziedzina funkcji z = będzie się składać

z dwóch przedziałów — oo < x < 1 oraz 1 < x < -foo.

Dziedziny podstawowych funkcji elementarnych są następujące:

funkcja potęgowa y = xⁿ o wykładniku wymiernym dodatnim ⁿ~~j

I. dla nieparzystych /5 jest określona na całej osi liczbowej — oo < x < -foo, natomiast dla parzystych /? jest określona w przedziale 0 <x < -foo¹*. funkcja wykładnicza y = a*(a > 0) jest określona na całej osi liczbowej; I funkcja logarytmiczna y = iog„ x(a > 0) jest określona w przedziale

i 0 < x < + oo;

funkcje trygonometryczne: y — sinx, y = cosx są określone na całej osi liczbowej; y — tgx,y = sec x = —* _y są określone na całej osi liczbowej

I z wyjątkiem punktów x_k = (2k+l)-^- (k = 0, ±1,±2,...); y = ctgx,

fij    j

I    y— cosec x = — - są określone na całej osi liczbowej z wyjątkiem pun-

"

któw x_k = ku;

funkcje kołowe (odwrotne do trygonometrycznych)-, y = arcsinx, y — aręcosx są określone na odcinku — l<x<3, a y = arctgx, >' = arcctg.r są określone na całej osi liczbowej.

Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji elementarnej, danej wzorem y = f(x), należy zwrócić uwagę na następujące elementy wyrażenia określającego . tę funkcję:

1) na pierwiastki stopnia parzystego; funkcja będzie wtedy określona tylko dla takich wartości argumentu x, dla których wyrażenia podpierwiastkowe będą nieujemne;

2) na mianowniki wyrażeń ułamkowych; funkcja będzie określona tylko dla tych wartości x, dla których mianowniki są różne od zera;

3) na funkcje przestępne: log©, tg©, ctg©, sec©, cosec©, arc sin©, arccos©, które są określone nie dla wszystkich wartości argumentu, a jedynie dla wyżej wymienionych.

(dziedziną) funkcji y będzie cała oś wykładnik n będzie liczbą całkowitą;

jątek będą

Jeśli w’e wzorze y = f(x) wymienione elementy nie występują, to obszarem określoności

15

1

2. Dziedzina (zbiór określoności czyli istnienia) funkcji

2

Dziedziną funkcji albo obszarem jej istnienia nazywa się zbiór tych wszystkich punktów na osi liczbowej, w których funkcja ma określoną wartość rzeczywistą.

>) Dla p = 1