017(1)

2)    Kolejne wartości zmiennej y wraz ze wzrostem n maleją nieograni-czenie, zatem dla dostatecznie dużych n wartości tej zmiennej będą co do wartości bezwzględnej większe od dowolnie dużej z góry przyjętej liczby N. Udowodnimy to.

Niech daną będzie liczba N> 0. Biorąc \y j = 0,1^_B > N i łogarytmując obie strony tej nierówności znajdujemy « > lgN, a więc |y| będzie większa od N, skoro tylko n będzie większe od lg N. Zatem zgodnie z określeniem III zmienna y jest wielkością nieskończenie wielką: lim y — — oo.

n->co

3)    Wraz ze wzrostem n kolejne wartości zmiennej z dążą do zera, zatem dla dostatecznie dużych n wartości te będą co do wartości bezwzględnej mniejsze od dowolnie małej z góry danej dodatniej liczby e. Udowodnimy to.

Niech dana będzie liczba e > 0. Biorąc \z \ = 0,1" <e i łogarytmując

obie strony tej nierówności, znajdujemy n ^ lg j, a więc |z| będzie mniejsze od e, skoro tylko n będzie w iększe od lg y. Zatem zgodnie z określeniem

II zmienna z jest wielkością nieskończenie małą: lim z = 0.

/*-*■+00

Zmienna ta dąży do granicy równej zeru, przy czym jej wartości oscylują wokół zera. Zdążanie do granicy nie przebiega więc w sposób monofoniczny.

4)    Kolejne wartości zmiennej u wrą^ ze wzrostem n nie dążą do żadnej określonej wartości, dlatego zmienna z nie ma granicy. Nie jest też ona wielkością nieskończenie wielką, ponieważ wartości jej nie rosną wraz z n. Jest to wielkość ograniczona.

29. Wykazać, że

lim aⁿ = 1°' ^{8dy 0<,!<1} *-►+« l+oo, gdy a > 1

Rozwiązanie. 1) Niech stała a będzie d)datnim ułamkiem właściwym 0 < a < 1. Wtedy ze wzrostem n zmienna /(«) = a" będzie monofonicznie maleć, tzn. każda z kolejnych wartości tej zmiennej będzie mniejsza od wartości poprzedniej. Wykażemy, że poczynając od określonej wartości n = n_a dla wszystkich następnych wartości n > tj₀, wartości funkcji a" będą mniejsze od dowolnej z góry danej dodatniej liczby e.

Biorąc aⁿ° < e znajdujemy szukaną wartość n₀. Łogarytmując obie strony

nierówności otrzymamy n₀ log a < lg e, skąd znajdujemy n₀ > (zwrot nierówności uległ zmianie na przeciwny, ponieważ dla 0 < a < 1, Iga < 0).

Wobec tego wartość funkcji aⁿ dla n n₀ oraz wszystkie dalsze jej wartości dla n > będ; mniejsze od dowolnie małej liczby t. udowodniliśmy tym samym, że dla 0 < a < 1 oraz dla n -> |-oo funkcja a" jest wielkością nieskończenie małą, tzn. lim a" — 0.

n *4 oo

2) Niech będzie a > 1. W'tcdy ze wzrostem n zmienna a„ będzie mono-tonicznic rosnąć. Wykażemy, że poczynając od określonej wartości n = n₀ dla wszystkich następnych wartości n > w₀ wartości funkcji a" będą większe

od dowolnej z góry danej dodatniej liczby N.

iV

Biorąc > N, znajdujemy »₀ > y— ■ A zatem dla wszystkich wartości

» > >:₀ wartości funkcji a" będą większe od N. Udowodniliśmy tym samym, że gdy a > 1 i n -> -f oo, to funkcja o" jest nieskończenie wielką wielkością

dodatnią, tj. że lim a” = -f-^;co.

U-H-CO

30.    Wykazać, że:

2.v-f3    2

J) hm— -    2) lim (2*+1) - 7.

.v >oo    _x-_^3

Rozwiązanie: 1) Utwórzmy różnicę _ y = V Gdy * -> oo różnica ta jest wielkością nieskończenie małą (jako odwrotność wielkości nieskończenie wielkiej). Jak wiemy, jeżeli zmienna yy różni się od stałej

y o wielkość nieskończenie małą, to stała ta jest granicą zmiennej. Tak

więc lim — -    =    .

2) Bierzemy jc — 34-« i tworzymy różnicę: (2* 1)—7 = [2(3—u) I 1] — - 7 - 2«. Gdy x -► 3 zmienna, a -> 0; różnica funkcji 2* 1-1 oraz stałej 7, czyli 2u, będzie więc wielkością nieskończenie małą. Wynika stąd, że lim (2*4-1) — 7.

X—ri

31.    Wyznaczyć granice funkcji y =    gdy: 1) x-» 2— 0,

2) x -*24-0. Zilustrować rozwiązania tabelkami.

Rozwiązane: 1) Jeżeli x dąży do 2 z lewej strony, czyli * jest zawsze mniejsze od 2, to l—x będzie nieskończenie małą wielkością dodatnią, zaś -_y~ _v będzie nieskończenie wielką wielkością dodatnią. A więc

jeżeli * -» 2—0, to (2—*) -> +0, a ■-_v -» c. czyli lim - ⁵ - 4- co.

Z X    _Y .2 0** ^A

3 Met- K- rrłr-zigż’¹ uanu zadali 33