024 9

a) f(x)

5.4. Granice niewłaściwe

■zpatrzmy funkcję f(x) = 4>, x ^ O (wykres obok). I -uważmy, że dla dowolnego ciągu argumentów (x_n) Kiego, że lim x_n = 0, mamy lim f(x_n) = oo.

. n—»oo    ' n—t-oc

DEFINICJA_

Niech / będzie funkcją, określoną w sąsiedztwie punktu xo. Funkcja / ma w punkcie xq granicę niewłaściwą oo ( lim f(x) = oo), jeśli dla każdego

ciągu (x_n) zbieżnego do xq, o wyrazach należących do dziedziny funkcji / i różnych od xq, ciąg {f(x_n)) jest rozbieżny do oo.

Ćwiczenie 1

o formułuj definicję granicy niewłaściwej równej —oc dla funkcji / w punk-

:e xq.

Przykład 1

Funkcja f(x) =    , % C R\{2}, ma w punkcie Xq — 2

zranicę niewłaściwą równą — oo, co zapisujemy:

lim

x—>2

-1

= —OC

U-2)²

Ćwiczenie 2

Naszkicuj wykres funkcji /. Dla jakiego Xq C R ma ona zranicę niewłaściwą równą — oo?

-1

\x—1

b) f(x)

-4

x-\-2\

5.4. Granice niewłaściwe

Przykład 2

Dla funkcji f(x) = x E R \ {!}, nie istnieje granica lim f(x). Istnieją na-

X~>1

tomiast granice niewłaściwe jednostronne

w punkcie xq = 1:

1 1 lim - = — oo,    lim - = OC'

x—U X 1    x->l+ X—l 269