028 9

*5.5. Granica funkcji w nieskończoności

Przykład 1

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji /(;x) =    ■ Rozpatrzmy ciąg ar

gumentów (x_n) taki, że x_n —> oc. Wówczas ciąg odpowiadających im wartości funkcji (f(x_n)) ma granicę równą zero.

DEFINICJA_

Niech / będzie funkcją określoną w przedziale (a; oo). Liczba g jest granicą funkcji / w oo (lim f(x) = g), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do

oo, o wyrazach należących do dziedziny funkcji /, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

s _{o    o}

Ćwiczenie 1

Sformułuj definicję lim f{x) = g.

x—►—og

Jeśli hm f(x) — k, to prostą y = k nazy-

x—»oo

wamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w oo.

Jeśli lim f(x) — l, to prostą y = l liazy-wamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w —oo.

Wykres funkcji / ma w oo asymptotę poziomą y = 2, a w —oo    asymptotą

poziomą y — — 1.

Przykład 2

fyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji f(x) — ^    ^

W

3—

3—x²

lim —w—- = lim —r a \ x—>oo 2a++4 x—>og x² [2Ą—^ J

x²(Ą-i)    Ą-i

^{V r} ’ - lim ^x

2+

'r-2

3—x² lim —-—-

x—>—oo 2aN+4

lim

i

(²+Ż)

Dla, każdego n € N₊: 1

lim — =0

x—),±oo Xⁿ

Wykres funkcji / ma w oo oraz w — oo asymptotę poziomą y — —

Ćwiczenie 2

Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji /.

a) f(x) =

6—4x

l-f-2x

b) f(x) =

x²+2

c) f(x) =

2|x| + l

274    5. Rachunek różniczkowy