032(1)

tylko na prawo, bądź na lewo od punktu *o oraz w samym punkcie .\-₀, przy czym:

1)    jeżeli punkt graniczny xo należy do obszaru określoności funkcji, to będzie on punktem ciągłości bądź nieciągłości funkcji zależnie od tego, czy granica funkcji dla k -» xo od wewnątrz obszaru określoności jest równa, czy nie jest równa/(*o);

2)    jeżeli punkt graniczny *₀ nie należy do obszaru określoności funkcji, to jest on punktem jej nieciągłości.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w całym obszarze określoności, czyli obszar ciągłości funkcji elementarnej pokrywa się z jej dziedziną.

Przy poszukiwaniu punktów nieciągłości funkcji można korzystać z następujących wskazówek:

1.    Funkcja elementarna może mieć nieciągłości tylko w punktach odosobnionych, a nie może być nieciągłą we wszystkich punktach jakiegokolwiek przedziału.

2.    Funkcja elementarna może mieć nieciągłość tylko w punkcie, w którym nie jest określona, pod warunkiem, że będzie ona określona chociażby z jednej strony punktu nieciągłości, w punktach leżących dowolnie blisko tego punktu.

3.    Funkcja nieelementarna może mieć nieciągłości zarówno w punktach, w których jest określona, jak i w punktach, gdzie nie jest określona; w szczególności, jeżeli funkcja dana jest kilku różnymi wyrażeniami (wzorami) analitycznymi dla różnych obszarów przebiegu argumentu, to może ona mieć nieciągłości w tych punktach, tv których zmienia się jej. wyrażenie analityczne^lJ.

121. Wykazać, że funkcje elementarne: 1) y — 2x²—l, 2) v = cosec* są ciągłe we wszystkich punktach swego obszaru określoności.

Rozwiązanie. Znajdujemy obszar określoności funkcji, a następnie, wychodząc z definicji ciągłości, badamy, czy funkcja jest w tym obszarze ciągła.

i) Dziedziną funkcji y jest cała oś liczbowa. Weźmy więc dowolny przyrost Ax argumentu * i podstawiając do danego wyrażenia funkcji

>) Struktura funkcji nieelemcntarnych może być bardzo skomplikowana. Mogą one być określone, a jednocześnie nieciągłe w każdym punkcie osi liczbowej.

zamiast * wartość x+Ax, wyznaczmy odpowiednią wartość funkcji

y+Ay = 2(x-\-Ax)²— 1

Odejmując od tej wartości funkcji jej pierwotną wartość, znajdujemy przyrost funkcji

Ay = 2(x+Ax)²— 1—(2-tc²—1) = 4xAx+2Ax² Niech teraz Ax -> 0. Wtedy dla każdej wartości x mamy lim Ay = 0.

Ax-*Q

Zatem zgodnie z definicją ciągłości funkcji, funkcja y będzie ciągła dla dowolnej wartości x, a więc w całym obszarze określoności.

2) Funkcja trygonometryczna cosecx jest określona na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktów x — kn\ k = 0, ±1, ±2, ...

Postępując tak, jak w poprzednim przykładzie, znajdujemy przyrost funkcji Av i jego granicę, gdy Ax -> 0

Av — cosec (x-{-Ax) — cosec x = .■ . * . r —4— —

sm(*4-żl*) sin*

sin x~ sin(*-M*) sin (jc+z1 jc) sin *

2 cos (*4- sin sin(*-M*)sin *

2 cos* sin²*

• 0 = 0

2 cos |*4-

lim Av = lim—.— sin(*4-J*)sinx

co zachodzi dla wszystkich *, oprócz * = kn; k = 0, ±1, ±2, ...

Zatem obszar ciągłości i obszar określoności funkcji elementarnej cosec* w zupełności pokrywają się.

122. Znaleźć punkty nieciągłości (jeśli istnieją) oraz skok funkcji w każdym punkcie nieciągłości:

*²+2*-f20

0/»(*)«    2)/*(*)    ³*“⁵

3) Mx) = arc ctg —

⁴) m =

5) Mx) = lg (*²4-3*)

Rozwiązanie. 1) Funkcja /i(*) jest określona dla wszystkich wartości * oprócz * = ±2. Jest Jo funkcja elementarna, a więc jest ciągła w całym obszarze określoności: —oo < * < —2, —2 <*<2, 2<*< < 4-oo. W punktach xi — —2 i x₂ = 2 funkcja jest nieokreślona, jest

63