032 8

*5.8. Pochodna funkcji

W rozdziale tym zakładamy, że funkcja / jest określona w pewnym przedziale (a; b). Niech xq oraz x będą punktami należącymi do przedziału (a; b). Różnicę h — x — xq nazywamy przyrostem argumentu funkcji (stąd x = Xq + h).

Różnicę f(x) - f(x_Q) = f{x₀ + h) - f(x₀) nazywamy przyrostem wartości funkcji.

Iloraz    5 dla x ^ xq, zapisywany też

w postaci f(^Xo+hy~ ^ nazywamy ilorazem różnicowym funkcji / w punkcie x,q.

Iloraz różnicowy można interpretować jako średnią prędkość przyrostu funkcji / w przedziale (xq;x-).

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego

Przypomnijmy, że jeśli prosta y = ax + b przechodzi przez dwa różne punkty (x\, y\) i (^2,1/2)) to jej współczynnik kierunkowy

możemy obliczyć, korzystając ze wzoru: _a='M^yL

X2~Xi

Jednocześnie iloraz jest równy tangen-sowi kąta a (rysunek obok).

Ćwiczenie 1

Oblicz wsr funkcji / ten wykres ~ ciętej rów::

Ćwiczenie _

Naszkicuj sieczną v. -ciętych x = kierunków-.- - -

Pochodna i

DEFłNłCjA |

Jeśli istni-: pochodną r_:

TWIERDZENIE_

Współczynnik kierunkowy prostej y = ax+b jest równy tangensowi kąta a, jaki ta prosta tworzy z osią OX: tg a ==. a.

Prostą, która przecina wykres funkcji w co najmniej dwóch punktach, nazywamy sieczną.

Rozpatrzmy sieczną wykresu funkcji / przecinającą ten wykres w punktach *Pq{xq, f(xo)) i P(x,f(x)) (rysunek obok).

Iloraz różnicowy    jest równy tangensowi

kąta a, jaki sieczna PqP tworzy z osią OX_: a zatem jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej PqP.

Uwaga. M

w tym punk:.-? istnienie p

Przykład 1

a)    Oblicz p* :i d

/'(3) = ^linf

X— :

b)    Oblicz po /^,(2) = lim -

x—2

= lim ~ -

x—2

Ćwiczenie 3

Oblicz f'(xo .

a)    f(x) = 5x - 3

b)    }(x) = x² - .

284    5. Rachunek różniczkowy