039 7

*5.10. Działania na pochodnych

TWIERDZENIE_

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x oraz c jest dowolną stałą, to:

(c • f(x))' = c ■ f'(x)

Przykład 1

a) (30:²)⁷ = 3(x²)' = 3 • 2x — 6x    b) (6.T⁴)' = 6(x⁴y = 6 • 4x³ = 24x³

Ćwiczenie 1

Wyznacz pochodną funkcji /.

a) f{x) = 12.r³    c) f(x) = 4x⁷

b) f(x) = 0,5x⁶    d) f(x) = 6.t^_i

POCHODNA SUMY l POCHODNA RÓŻNICY FUNKCJI_

Jeśli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, to:

(/O) + g(x)Y = f{x) + g\x) oraz (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'{x)

Przykład 2

a)    (x² + 3x - 1)' = (x²)' + 30)' - (1)' = 2x + 3    *

b)    (2x³ + ^ — x + l)⁷ = 2(x³)^/ + 4(^)⁷ — (x)' + (1)' = Qx² — -p? — 1 dla x ^ 0 Ćwiczenie 2

Wyznacz pochodną funkcji /.

a) f(x) = 2x⁴ — 3x² + 6    c) f(x) = 3y/x — 4x³ + 3

b) f(x) = ~x⁵ + 3x⁴ - 7x² - 2    d) f{x) = \x⁶ — ^ - 2^fx

POCHODNA ILOCZYNU FUNKCJI

Jeśli funkcje / i g mają pochodne w punkcie x, to:

(f(^x) • g(x))' = f'(x) ■ g{x) + f(x) • g'(x)

Przykład 3

a)    (x²^fx)' = (x²)'\[% + x²(V%)' — 2x\/x + X² --== — 2Xy/x + \x\fx = ’^Xy/x

Z\jX    z    z

dla x > 0

b)    ((x² + l)(;r³ — 4))' = 2ic(.x"³ — 4) + (V² + l)3x² = 5x⁴ + 3x² — 8:r

5.10. Działania na pochodnych 291